Moto armonico

Materie:Appunti
Categoria:Fisica
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Testo

MOTO ARMONICO SEMPLICE

Se proiettiamo un moto circolare sul diametro della circonferenza otteniamo un moto periodico rettilineo che si chiama moto armonico semplice.
Fig.1 Fig.2
Mentre il punto materiale percorre la circonferenza in senso orario la sua proiezione oscilla sul diametro da A verso B e viceversa. Il punto 0 (centro della circonferenza) è il centro di oscillazione rispetto al quale vengono misurati gli spostamenti x (elongazioni) del punto oscillante; si considerano positivi se sono a destra di 0. Per esempio nella fig.1 lo spostamento del punto M1 è OM1=+xm, mentre quello del punto N è ON=-xn.
Proiettare un moto significa proiettare posizioni, velocità, accelerazioni.
L’ampiezza del moto armonico è la massima distanza x0 dal centro di oscillazione.
Una oscillazione completa è il moto di andata e ritorno da A a B.
Il periodo è l’intervallo di tempo che il punto mobile impiega per compiere una oscillazione completa.

ACCELERAZIONE
L’accelerazione nel moto circolare uniforme è sempre centripeta, cioè diretta verso il centro, allora la sua proiezione sul diametro ha sempre verso opposto a quello dello spostamento. Nella fig.2 si vede che quando lo spostamento è positivo (alla destra di 0) l’accelerazione ’a è negativa (verso sinistra), viceversa a sinistra di 0.
Supponiamo che la circonferenza di raggio r della fig. 3 sia la traiettoria di un punto materiale che si muove in senso antiorario di moto circolare uniforme di velocità dv.
Nell’istante in cui la posizione sulla circonferenza è P l’accelerazione è ’ac, la posizione sul diametro AB è P1 e l’accelerazione è ’a.
Vogliamo calcolare il modulo a dell’accelerazione.
Si considerano i triangoli simili P1OP e HKP e si scrive la seguente proporzione:
P1O : HK = PO: PK
Fig. 3
Dato che è:
P1O = -x HK = a PO = r PK = ac
Sostituendo tali valori si ottiene:
-x : a = r : ac ==>
ricordando che ac= =2 r si ottiene:
a = ---2 x
il moto armonico semplice è un moto periodico rettilineo con accelerazione direttamente proporzionale allo spostamento.
La costante ccc che nel moto armonico semplice è la velocità angolare, nel moto armonico viene detta pulsazione.

VELOCITÀ
Consideriamo ancora il punto materiale P nella fig. 4 e indichiamo con avp la sua velocità. Nell’istante in cui si trova in P la sua proiezione sul diametro si trova in P1 e la proiezione di vp è v.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OPP1 si trova la lunghezza di PP1 :

dato che i triangoli OPP1 e RPH sono simili si può scrivere:
OP : PR = PP1 : PH
e sostituendo i rispettivi valori:

PERIODO
Il periodo del moto armonico, cioè l’intervallo di tempo che il punto mobile impiega per fare un’oscillazione completa, è uguale al periodo del moto circolare per cui vale:

sostituendo questo valore nell’espressione dell’accelerazione si ha:
a = ---2 x ==>

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

MOTO ARMONICO SEMPLICE

Se proiettiamo un moto circolare sul diametro della circonferenza otteniamo un moto periodico rettilineo che si chiama moto armonico semplice.
Fig.1 Fig.2
Mentre il punto materiale percorre la circonferenza in senso orario la sua proiezione oscilla sul diametro da A verso B e viceversa. Il punto 0 (centro della circonferenza) è il centro di oscillazione rispetto al quale vengono misurati gli spostamenti x (elongazioni) del punto oscillante; si considerano positivi se sono a destra di 0. Per esempio nella fig.1 lo spostamento del punto M1 è OM1=+xm, mentre quello del punto N è ON=-xn.
Proiettare un moto significa proiettare posizioni, velocità, accelerazioni.
L’ampiezza del moto armonico è la massima distanza x0 dal centro di oscillazione.
Una oscillazione completa è il moto di andata e ritorno da A a B.
Il periodo è l’intervallo di tempo che il punto mobile impiega per compiere una oscillazione completa.

ACCELERAZIONE
L’accelerazione nel moto circolare uniforme è sempre centripeta, cioè diretta verso il centro, allora la sua proiezione sul diametro ha sempre verso opposto a quello dello spostamento. Nella fig.2 si vede che quando lo spostamento è positivo (alla destra di 0) l’accelerazione ’a è negativa (verso sinistra), viceversa a sinistra di 0.
Supponiamo che la circonferenza di raggio r della fig. 3 sia la traiettoria di un punto materiale che si muove in senso antiorario di moto circolare uniforme di velocità dv.
Nell’istante in cui la posizione sulla circonferenza è P l’accelerazione è ’ac, la posizione sul diametro AB è P1 e l’accelerazione è ’a.
Vogliamo calcolare il modulo a dell’accelerazione.
Si considerano i triangoli simili P1OP e HKP e si scrive la seguente proporzione:
P1O : HK = PO: PK
Fig. 3
Dato che è:
P1O = -x HK = a PO = r PK = ac
Sostituendo tali valori si ottiene:
-x : a = r : ac ==>
ricordando che ac= =2 r si ottiene:
a = ---2 x
il moto armonico semplice è un moto periodico rettilineo con accelerazione direttamente proporzionale allo spostamento.
La costante ccc che nel moto armonico semplice è la velocità angolare, nel moto armonico viene detta pulsazione.

VELOCITÀ
Consideriamo ancora il punto materiale P nella fig. 4 e indichiamo con avp la sua velocità. Nell’istante in cui si trova in P la sua proiezione sul diametro si trova in P1 e la proiezione di vp è v.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OPP1 si trova la lunghezza di PP1 :

dato che i triangoli OPP1 e RPH sono simili si può scrivere:
OP : PR = PP1 : PH
e sostituendo i rispettivi valori:

PERIODO
Il periodo del moto armonico, cioè l’intervallo di tempo che il punto mobile impiega per fare un’oscillazione completa, è uguale al periodo del moto circolare per cui vale:

sostituendo questo valore nell’espressione dell’accelerazione si ha:
a = ---2 x ==>

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

Esempio



  



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