Momento Torcente

Materie:Tesina
Categoria:Fisica

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Data:02.09.2005
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Testo

il momento torcente
scopo Con questo esperimento siamo andati a considerare l’applicazione dei principi di newton ad un corpo solido. Abbiamo sempre considerato un oggetto puntiforme, al contrario adesso sfruttiamo proprio le leggi newtoniane applicandole ad un giroscopio in rotazione (corpo esteso).
Il primo obiettivo è stato il considerare il moto della ruota attorno al suo asse di rotazione e studiare questo movimento ,in particolare la sua accelerazione, con un grafico nel quale inserire tempo e distanza in modo da poter verificare la relazione che intercorre tra queste due grandezze, in quanto ci aspettiamo che vi sia un rapporto di proporzionalità quadratica, ipotesi che va verificata.
Come secondo punto dovevamo calcolare I, il momento d’inerzia della ruota, che si ricava facilmente conoscendo l’accelerazione (ottenuta tramite la prima parte dell’esperimento).
Ricavato il valore di I dovevamo procedere inserendo coppie di bulloni che andavano così ad influire sul moto rotatorio della ruota: le masse aggiunte avrebbero causato la diminuzione della velocità di rotazione e di conseguenza l’accelerazione diminuiva progressivamente. Con questo elemento si poteva studiare la perdita di Ecin misurando il numero di rimbalzi effettuati dal peso quando il filo, arrotolato attorno al mozzo del giroscopio, dopo essersi teso completamente, cominciava a riavvolgersi in senso contrario a quello precedente.
Infine avremmo dovuto misurare il momento torcente relativo all'attrito.
procedura L’apparato sperimentale era costituito da un giroscopio ricavato da una ruota di bicicletta; su entrambi i lati del mozzo erano avvitati dei manubri che ci hanno permesso di fissare il giroscopio in sospensione tra due piedistalli.
Da uno dei due lati del mozzo, oltre al manubrio, era fissato un disco del diametro di circa 7-8cm attorno al quale veniva arrotolato il filo utilizzato durante l’esperimento.
Il filo che partiva dal rocchetto fissato alla ruota veniva poi fatto passare in una carrucola posta ad una certa distanza dal giroscopio e ad un’altezza che permettesse al filo di mantenersi parallelo al piano di lavoro. All’estremità del filo, che ormai grazie alla carrucola era diretto perpendicolarmente al terreno, abbiamo fissato un peso che permettesse lo srotolarsi del filo e di conseguenza la rotazione del giroscopio (poiché non vi era “gioco” tra il giroscopio e il rocchetto in quanto formanti un corpo unico).
La posizione della carrucola e la lunghezza del filo sono state calcolate in modo da permettere al peso di superare il livello del tavolo (grazie alla carrucola che sporgeva di qualche cm dal tavolo) e di arrivare quasi a contatto con il terreno.
Abbiamo inizialmente fatto scendere il peso misurando il tempo che questo impiegava per scendere dall’istante iniziale (cioè dove il peso era appena sotto la carrucola) fino a predeterminate distanze dalla carrucola in modo da poter costruire una tabella rappresentante il tempo impiegato durante ogni discesa. Per ogni Δh considerato sono state prese 10 misurazioni tranne nei casi in cui, per mancanza di tempo, siamo stati costretti a ridurre il numero delle misurazioni e di conseguenza diminuendo la precisione del dato ottenuto.
Con questa prima esperienza abbiamo potuto calcolare sia l’accelerazione che il momento d’inerzia legato all’attrito, necessario per effettuare la verifica con il dato teorico come ci eravamo prefissi nello scopo.
Successivamente abbiamo proceduto con la misurazione dei rimbalzi effettuati dal pesetto; per eseguire ciò abbiamo lasciato che il pesetto causasse lo srotolarsi completo del filo, poi, in virtù dell’inerzia ancora presente nel giroscopio, questo ha provocato l’arrotolamento del filo nel senso opposto con la conseguente risalita del peso verso la carrucola.
Questo ci ha permesso di misurare il numero e il Δh dei rimbalzi.
A questo punto per variare il momento d’inerzia della ruota, abbiamo avvitato coppie di bulloni al giroscopio (in ordine 2, 4, 8, 12) e abbiamo ripetuto le precedenti esperienze ricavando ulteriori dati che serviranno successivamente nell’elaborazione dati.
E’ il momento di passare all’analisi quantitativa dei risultati.
risultati delle misurazioni Prima di tutto abbiamo misurato il braccio “r” sul quale la forza peso esercitata dal pesetto agisce perpendicolarmente allo spostamento. ()
Poi abbiamo misurato la massa del peso con il quale abbiamo eseguito tutte le esperienze ()
Successivamente abbiamo trovato il valore della soglia, cioè il valore della massa, al di sotto della quale, non si riesce a mettere in rotazione il giroscopio. Non è stato affatto facile ottenere questo valore a causa di numerosi attriti e della rozzezza dell’apparato sperimentale; abbiamo ottenuto comunque un valore di circa 151,2g ().
L’altezza a cui si trovava la carrucola rispetto al pavimento era di
La massa singola dei bulloni sfruttati nell’ultima parte dell’esperimento era di
Nella pagina seguente (per questioni di impaginazione) verranno riportate le tabelle relative alle tre fasi dell’esperimento.
Senza bulloni Giroscopio con bulloni Rimbalzi (peso=0,223Kg)
t(s)
d(m)
0,00
0,00
4,53
0,20
6,27
0,40
7,63
0,60
8,48
0,80
9,90
1,00
11,92
1,37
t(s)
d(m)
n° bulloni
16,107
1,37
2
18,995
1,37
4
24,408
1,37
8
28,552
1,37
12
n° rimbalzi
h(m)
1
0,640
2
0,335
3
0,170
4
0,030
5
0,015
6
0,005
7
0,000

Rimbalzi (peso=0,296Kg) Rimbalzi (peso=0,592Kg)
n° rimbalzi
h(m)
1
0,83
2
0,59
3
0,43
4
0,30
5
0,24
6
0,18
7
0,14
8
0,09
9
0,07
10
0,04
11
0,03
12
0,01
13
0,00
n° rimbalzi
h(m)
1
0,70
2
0,35
3
0,20
4
0,13
5
0,05
6
0,01
7
0,00
elaborazione dati La prima conferma ottenuta durante l’elaborazione dei dati ricavati è stata la relazione trovata tra la distanza percorsa del peso ed il relativo Δt. Con i dati del primo esperimento che riportati precedentemente abbiamo costruito il grafico e dopo aver rettificato i dati abbiamo calcolato l’accelerazione del peso.
Questi sono i due grafici ottenuti: (il primo è una semplice rappresentazione dei dati ottenuti mentre il secondo ne rappresenta la rettificazione e quindi ci permette di osservare qual è la relazione tra le due grandezze in gioco)
Per rettificare i dati del grafico abbiamo supposto che valessero le stesse leggi relative ai corpi puntiformi perciò abbiamo ipotizzato che tra la distanza e il tempo vi sia una relazione di proporzionalità quadratica elevando il tempo al quadrato. Questo è ciò che abbiamo ottenuto:
t2(s)
d(m)
0 0,00
0,00
20,52
0,20
39,25
0,40
58,28
0,60
71,84
0,80
98,01
1,00
142,19
1,37
Ora che i dato ottenuti oscillano attorno alla linea di tendenza possiamo prendere un punto a caso appartenente a quest’ultima e ,dividendone la sua ordinata (y) per l’ascissa (x), ottenendo un valore approssimato dell’accelerazione subita dal peso.
Esempio:
Questo è un valore approssimato della nostra accelerazione; abbiamo utilizzato, poi, i bulloni applicati alle estremità del giroscopio per variare questa accelerazione e di conseguenza il momento d’inerzia I.
Il grafico che abbiamo ottenuto:
t2(s)
d(m)
n° bulloni
259,44
1,37
2
360,81
1,37
4
595,75
1,37
8
815,22
1,37
12

n° bulloni
2
0,010561
4
0,007594
8
0,004599
12
0,003361

A questo punto sapendo che l’accelerazione è costante, possiamo affermare che il moto del peso in discesa è uniformemente accelerato è perciò l’accelerazione può essere calcolata con la formula dove l’accelerazione è uguale a
Il grafico precedente quindi rappresenta la diminuzione dell’accelerazione in funzione del numero di bulloni che vengono applicati sul giroscopio.
A questo punto, con i risultati ottenuti, possiamo andare a calcolare di quanto è variato il momento d’inerzia I.
Infatti sappiamo che e che perciò:
e quindi
Calcolato possiamo trovare i valori degli altri momenti d’inerzia tramite questa relazione: dove m è la massa dei bulloni applicati al giroscopio.
Si può allora costruire il seguente grafico:

n° bulloni
I

0,3501344
2
0,3510816
4
0,3520288
8
0,3539232
12
0,3558176
Essendoci un rapporto di proporzionalità inversa tra l’accelerazione e il momento d’inerzia ci aspetteremmo che al diminuire dell’accelerazione (e quindi all’aumentare del numero dei bulloni) aumenti il momento d’inerzia; e tutto questo è prontamente verificato da quest’ultimo grafico.
Infine abbiamo preso in considerazione i rimbalzi, cioè le salite e le discese che il peso compie in conseguenza all’arrotolamento e al successivo srotolarsi, del filo in modo da poter osservare la diminuzione di Ecin.
Quando il peso si trova in alto possiede un’energia potenziale che ,durante la discesa, si trasforma in energia cinetica; quando il filo si trova in tensione, e cioè quando il peso ha velocità nulla, tutta l’energia cinetica la ritroviamo nuovamente sotto forma di energia potenziale che andrà a sua volta a trasformarsi in energia cinetica durante la risalita.
Il pesò però non raggiungerà il livello iniziale a causa degli attriti agenti tra il filo e le varie componenti dell’apparato (rocchetto/carrucola) durante il suo riavvolgimento e perciò non avremo nemmeno la stessa velocità. Di seguito sono riportati i tre grafici relativi ai rimbalzi:
conclusioni Dai primi due grafici abbiamo potuto verificare la congettura fatta, potendo affermare con sicurezza che tra la distanza e il tempo vi sia un rapporto di proporzionalità quadratica; superato il valore di soglia il peso scende verticalmente con un moto uniformemente accelerato, dimostrato dalla possibile rettificazione del primo grafico.
Osservando ,poi, il grafico rappresentante l’andamento dell’accelerazione in funzione del numero di bulloni fissati sul giroscopio, ne possiamo individuare una diminuzione avente andamento esponenziale; sfruttando questo risultato siamo andati a studiare la variazione del momento di inerzia I.
Essendo ,al diminuire dell’accelerazione il momento d’inerzia aumenta.
Otteniamo perciò un grafico crescente, la cui linea di tendenza, non passante per l’origine, assomiglia ad una retta: è giusto che sia così ,poichè ,anche nel caso in cui non ci siano bulloni presenti sul giroscopio, è comunque presente un momento d’inerzia causato dal peso attaccato al filo.
Per quanto riguarda i rimbalzi, abbiamo ottenuto tre grafici che variano tra loro unicamente per la massa appesa al filo e abbiamo osservato che non possiamo affermare che la curva di diminuzione è di tipo esponenziale poiché non è tendente a 0, ma raggiunge questo valore.
Sarebbe più paragonabile ad un arco di parabola poiché considerando la radice dei valori presenti sull’asse delle ascisse, si ottiene una curva la cui linea di tendenza è associabile (anche se non di tanto) ad una retta con coefficiente angolare negativo. (vedere foglio allegato)
Se avessimo misurato i tempi, sapendo che e ricavandoci la velocità ad ogni istante, conoscendo ,inoltre, l’accelerazione ricavabile dalla formula avremmo potuto costruire un grafico simile a quello legato all’oscillatore armonico che avrebbe rappresentato l’effettiva diminuzione di energia cinetica in seguito ai rimbalzi effettuati.
Per quanto riguarda M0 non abbiamo potuto costruire il grafico in quanto carenti dei dati adatti e ne abbiamo potuto solo stimare l’ordine di grandezza, ottenendo circa 0,041.
Allegato relativo alla rettificazione del grafico dei rimbalzi
h(m)
1
0,83
1,414214
0,59
1,732051
0,43
2
0,30
2,236068
0,24
2,44949
0,18
2,645751
0,14
2,828427
0,09
3
0,07
3,162278
0,04
3,316625
0,03
3,464102
0,01
3,605551
0,00
il momento torcente
scopo Con questo esperimento siamo andati a considerare l’applicazione dei principi di newton ad un corpo solido. Abbiamo sempre considerato un oggetto puntiforme, al contrario adesso sfruttiamo proprio le leggi newtoniane applicandole ad un giroscopio in rotazione (corpo esteso).
Il primo obiettivo è stato il considerare il moto della ruota attorno al suo asse di rotazione e studiare questo movimento ,in particolare la sua accelerazione, con un grafico nel quale inserire tempo e distanza in modo da poter verificare la relazione che intercorre tra queste due grandezze, in quanto ci aspettiamo che vi sia un rapporto di proporzionalità quadratica, ipotesi che va verificata.
Come secondo punto dovevamo calcolare I, il momento d’inerzia della ruota, che si ricava facilmente conoscendo l’accelerazione (ottenuta tramite la prima parte dell’esperimento).
Ricavato il valore di I dovevamo procedere inserendo coppie di bulloni che andavano così ad influire sul moto rotatorio della ruota: le masse aggiunte avrebbero causato la diminuzione della velocità di rotazione e di conseguenza l’accelerazione diminuiva progressivamente. Con questo elemento si poteva studiare la perdita di Ecin misurando il numero di rimbalzi effettuati dal peso quando il filo, arrotolato attorno al mozzo del giroscopio, dopo essersi teso completamente, cominciava a riavvolgersi in senso contrario a quello precedente.
Infine avremmo dovuto misurare il momento torcente relativo all'attrito.
procedura L’apparato sperimentale era costituito da un giroscopio ricavato da una ruota di bicicletta; su entrambi i lati del mozzo erano avvitati dei manubri che ci hanno permesso di fissare il giroscopio in sospensione tra due piedistalli.
Da uno dei due lati del mozzo, oltre al manubrio, era fissato un disco del diametro di circa 7-8cm attorno al quale veniva arrotolato il filo utilizzato durante l’esperimento.
Il filo che partiva dal rocchetto fissato alla ruota veniva poi fatto passare in una carrucola posta ad una certa distanza dal giroscopio e ad un’altezza che permettesse al filo di mantenersi parallelo al piano di lavoro. All’estremità del filo, che ormai grazie alla carrucola era diretto perpendicolarmente al terreno, abbiamo fissato un peso che permettesse lo srotolarsi del filo e di conseguenza la rotazione del giroscopio (poiché non vi era “gioco” tra il giroscopio e il rocchetto in quanto formanti un corpo unico).
La posizione della carrucola e la lunghezza del filo sono state calcolate in modo da permettere al peso di superare il livello del tavolo (grazie alla carrucola che sporgeva di qualche cm dal tavolo) e di arrivare quasi a contatto con il terreno.
Abbiamo inizialmente fatto scendere il peso misurando il tempo che questo impiegava per scendere dall’istante iniziale (cioè dove il peso era appena sotto la carrucola) fino a predeterminate distanze dalla carrucola in modo da poter costruire una tabella rappresentante il tempo impiegato durante ogni discesa. Per ogni Δh considerato sono state prese 10 misurazioni tranne nei casi in cui, per mancanza di tempo, siamo stati costretti a ridurre il numero delle misurazioni e di conseguenza diminuendo la precisione del dato ottenuto.
Con questa prima esperienza abbiamo potuto calcolare sia l’accelerazione che il momento d’inerzia legato all’attrito, necessario per effettuare la verifica con il dato teorico come ci eravamo prefissi nello scopo.
Successivamente abbiamo proceduto con la misurazione dei rimbalzi effettuati dal pesetto; per eseguire ciò abbiamo lasciato che il pesetto causasse lo srotolarsi completo del filo, poi, in virtù dell’inerzia ancora presente nel giroscopio, questo ha provocato l’arrotolamento del filo nel senso opposto con la conseguente risalita del peso verso la carrucola.
Questo ci ha permesso di misurare il numero e il Δh dei rimbalzi.
A questo punto per variare il momento d’inerzia della ruota, abbiamo avvitato coppie di bulloni al giroscopio (in ordine 2, 4, 8, 12) e abbiamo ripetuto le precedenti esperienze ricavando ulteriori dati che serviranno successivamente nell’elaborazione dati.
E’ il momento di passare all’analisi quantitativa dei risultati.
risultati delle misurazioni Prima di tutto abbiamo misurato il braccio “r” sul quale la forza peso esercitata dal pesetto agisce perpendicolarmente allo spostamento. ()
Poi abbiamo misurato la massa del peso con il quale abbiamo eseguito tutte le esperienze ()
Successivamente abbiamo trovato il valore della soglia, cioè il valore della massa, al di sotto della quale, non si riesce a mettere in rotazione il giroscopio. Non è stato affatto facile ottenere questo valore a causa di numerosi attriti e della rozzezza dell’apparato sperimentale; abbiamo ottenuto comunque un valore di circa 151,2g ().
L’altezza a cui si trovava la carrucola rispetto al pavimento era di
La massa singola dei bulloni sfruttati nell’ultima parte dell’esperimento era di
Nella pagina seguente (per questioni di impaginazione) verranno riportate le tabelle relative alle tre fasi dell’esperimento.
Senza bulloni Giroscopio con bulloni Rimbalzi (peso=0,223Kg)
t(s)
d(m)
0,00
0,00
4,53
0,20
6,27
0,40
7,63
0,60
8,48
0,80
9,90
1,00
11,92
1,37
t(s)
d(m)
n° bulloni
16,107
1,37
2
18,995
1,37
4
24,408
1,37
8
28,552
1,37
12
n° rimbalzi
h(m)
1
0,640
2
0,335
3
0,170
4
0,030
5
0,015
6
0,005
7
0,000

Rimbalzi (peso=0,296Kg) Rimbalzi (peso=0,592Kg)
n° rimbalzi
h(m)
1
0,83
2
0,59
3
0,43
4
0,30
5
0,24
6
0,18
7
0,14
8
0,09
9
0,07
10
0,04
11
0,03
12
0,01
13
0,00
n° rimbalzi
h(m)
1
0,70
2
0,35
3
0,20
4
0,13
5
0,05
6
0,01
7
0,00
elaborazione dati La prima conferma ottenuta durante l’elaborazione dei dati ricavati è stata la relazione trovata tra la distanza percorsa del peso ed il relativo Δt. Con i dati del primo esperimento che riportati precedentemente abbiamo costruito il grafico e dopo aver rettificato i dati abbiamo calcolato l’accelerazione del peso.
Questi sono i due grafici ottenuti: (il primo è una semplice rappresentazione dei dati ottenuti mentre il secondo ne rappresenta la rettificazione e quindi ci permette di osservare qual è la relazione tra le due grandezze in gioco)
Per rettificare i dati del grafico abbiamo supposto che valessero le stesse leggi relative ai corpi puntiformi perciò abbiamo ipotizzato che tra la distanza e il tempo vi sia una relazione di proporzionalità quadratica elevando il tempo al quadrato. Questo è ciò che abbiamo ottenuto:
t2(s)
d(m)
0 0,00
0,00
20,52
0,20
39,25
0,40
58,28
0,60
71,84
0,80
98,01
1,00
142,19
1,37
Ora che i dato ottenuti oscillano attorno alla linea di tendenza possiamo prendere un punto a caso appartenente a quest’ultima e ,dividendone la sua ordinata (y) per l’ascissa (x), ottenendo un valore approssimato dell’accelerazione subita dal peso.
Esempio:
Questo è un valore approssimato della nostra accelerazione; abbiamo utilizzato, poi, i bulloni applicati alle estremità del giroscopio per variare questa accelerazione e di conseguenza il momento d’inerzia I.
Il grafico che abbiamo ottenuto:
t2(s)
d(m)
n° bulloni
259,44
1,37
2
360,81
1,37
4
595,75
1,37
8
815,22
1,37
12

n° bulloni
2
0,010561
4
0,007594
8
0,004599
12
0,003361

A questo punto sapendo che l’accelerazione è costante, possiamo affermare che il moto del peso in discesa è uniformemente accelerato è perciò l’accelerazione può essere calcolata con la formula dove l’accelerazione è uguale a
Il grafico precedente quindi rappresenta la diminuzione dell’accelerazione in funzione del numero di bulloni che vengono applicati sul giroscopio.
A questo punto, con i risultati ottenuti, possiamo andare a calcolare di quanto è variato il momento d’inerzia I.
Infatti sappiamo che e che perciò:
e quindi
Calcolato possiamo trovare i valori degli altri momenti d’inerzia tramite questa relazione: dove m è la massa dei bulloni applicati al giroscopio.
Si può allora costruire il seguente grafico:

n° bulloni
I

0,3501344
2
0,3510816
4
0,3520288
8
0,3539232
12
0,3558176
Essendoci un rapporto di proporzionalità inversa tra l’accelerazione e il momento d’inerzia ci aspetteremmo che al diminuire dell’accelerazione (e quindi all’aumentare del numero dei bulloni) aumenti il momento d’inerzia; e tutto questo è prontamente verificato da quest’ultimo grafico.
Infine abbiamo preso in considerazione i rimbalzi, cioè le salite e le discese che il peso compie in conseguenza all’arrotolamento e al successivo srotolarsi, del filo in modo da poter osservare la diminuzione di Ecin.
Quando il peso si trova in alto possiede un’energia potenziale che ,durante la discesa, si trasforma in energia cinetica; quando il filo si trova in tensione, e cioè quando il peso ha velocità nulla, tutta l’energia cinetica la ritroviamo nuovamente sotto forma di energia potenziale che andrà a sua volta a trasformarsi in energia cinetica durante la risalita.
Il pesò però non raggiungerà il livello iniziale a causa degli attriti agenti tra il filo e le varie componenti dell’apparato (rocchetto/carrucola) durante il suo riavvolgimento e perciò non avremo nemmeno la stessa velocità. Di seguito sono riportati i tre grafici relativi ai rimbalzi:
conclusioni Dai primi due grafici abbiamo potuto verificare la congettura fatta, potendo affermare con sicurezza che tra la distanza e il tempo vi sia un rapporto di proporzionalità quadratica; superato il valore di soglia il peso scende verticalmente con un moto uniformemente accelerato, dimostrato dalla possibile rettificazione del primo grafico.
Osservando ,poi, il grafico rappresentante l’andamento dell’accelerazione in funzione del numero di bulloni fissati sul giroscopio, ne possiamo individuare una diminuzione avente andamento esponenziale; sfruttando questo risultato siamo andati a studiare la variazione del momento di inerzia I.
Essendo ,al diminuire dell’accelerazione il momento d’inerzia aumenta.
Otteniamo perciò un grafico crescente, la cui linea di tendenza, non passante per l’origine, assomiglia ad una retta: è giusto che sia così ,poichè ,anche nel caso in cui non ci siano bulloni presenti sul giroscopio, è comunque presente un momento d’inerzia causato dal peso attaccato al filo.
Per quanto riguarda i rimbalzi, abbiamo ottenuto tre grafici che variano tra loro unicamente per la massa appesa al filo e abbiamo osservato che non possiamo affermare che la curva di diminuzione è di tipo esponenziale poiché non è tendente a 0, ma raggiunge questo valore.
Sarebbe più paragonabile ad un arco di parabola poiché considerando la radice dei valori presenti sull’asse delle ascisse, si ottiene una curva la cui linea di tendenza è associabile (anche se non di tanto) ad una retta con coefficiente angolare negativo. (vedere foglio allegato)
Se avessimo misurato i tempi, sapendo che e ricavandoci la velocità ad ogni istante, conoscendo ,inoltre, l’accelerazione ricavabile dalla formula avremmo potuto costruire un grafico simile a quello legato all’oscillatore armonico che avrebbe rappresentato l’effettiva diminuzione di energia cinetica in seguito ai rimbalzi effettuati.
Per quanto riguarda M0 non abbiamo potuto costruire il grafico in quanto carenti dei dati adatti e ne abbiamo potuto solo stimare l’ordine di grandezza, ottenendo circa 0,041.
Allegato relativo alla rettificazione del grafico dei rimbalzi
h(m)
1
0,83
1,414214
0,59
1,732051
0,43
2
0,30
2,236068
0,24
2,44949
0,18
2,645751
0,14
2,828427
0,09
3
0,07
3,162278
0,04
3,316625
0,03
3,464102
0,01
3,605551
0,00

Esempio