Il carattere vettoriale delle forze

Materie:	Appunti
Categoria:	Fisica
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Data:	02.11.2001
Numero di pagine:	11
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LE FORZE SONO GRANDEZZE VETTORIALI?
Scopo
Verificare che le forze sono grandezze vettoriali, controllando che seguono le regole dell’algebra vettoriale.
Apparecchiatura
 2 dinamometri (risoluzione 0.01 N; fondoscala);
 piano inclinato con scala graduata in o (risoluzione 1o; scala da 0o a 75o);
 carrello
 filo
 2 carrucole
Descrizione dell’esperimento con accorgimenti di carattere tecnico
Poichй vogliamo verificare il carattere vettoriale delle forze, dobbiamo accertarci che seguano le regole imposte dall’algebra vettoriale. Infatti, non tutte le grandezze fisiche che hanno un segno positivo o negativo davanti al valore numerico sono vettori: ad esempio tra queste vi и la temperatura, che и uno scalare, poichй non ubbidisce all’algebra vettoriale. Per accertarci quindi del fatto che le forze siano vettori possiamo allestire un esperimento che ci permetta di apprezzare la regola del parallelogrammo, che graficamente riguarda la somma (diagonale uscente dal vertice comune) o la differenza (l’altra diagonale).
Prima di passare all’esperimento vero e proprio, definiamo innanzitutto la forza pari a 1 Newton (N): essa и quella forza che, applicata al Kg campione, gli imprime una accelerazione di 1 m/s2. Come strumento per misurare le forze usiamo un dinamometro; questo ci fornisce le misure attraverso un metodo statico, infatti il principio su cui si basa и l’allungamento di una molla (legge di Hook). Poichй и stato definito il N, и stato possibile applicare questa forza per tarare uno strumento, nella fattispecie deformando la molla.
Realizziamo alcune dimostrazioni dell’uso del dinamometro. Avvalendoci di un supporto, appendiamo il dinamometro e vi agganciamo 4 pesetti uguali. In questo modo, ci accorgiamo che i due corpi sono in equilibrio tra loro, quindi il dinamometro sta misurando non altro che l’interazione di gravitа: in poche parole, sta pesando il corpo. In questo esperimento, il dinamometro и direzionato verso il basso e misura (0.20 ( 0.01) N.
Proviamo ora a ripetere la misura cambiando la disposizione nello spazio del dinamometro e dei pesetti. Prendiamo un filo di massa trascurabile e lo mettiamo a cavallo di una carrucola, poi ai due estremi del filo agganciamo da una parte il dinamometro e dall’altra 4 dei nostri pesetti. In questo caso, il dinamometro и nel verso opposto a prima, ma otteniamo lo stesso risultato di prima. Il merito di questo va alla carrucola: essa ci permette di cambiare il verso senza alterare l’intensitа e la direzione della forza. Anche se ripetevamo le misure mettendo il dinamometro in altre direzioni dello spazio, ottenevamo comunque lo stesso risultato: la carrucola fa cambiare a nostro piacere il verso.
Giа dalle osservazioni fatte preventivamente all’esperimento principale, abbiamo parlato di direzione, verso e modulo delle forze: la natura vettoriale delle forze и perciт emersa sin da ora.
Utilizzando sempre le carrucole, abbiamo dimostrato che le forze sono soggette alla regola del parallelogrammo. Abbiamo teso un filo al di sopra di due carrucole, ponendo alle estremitа due pesetti per parte. In questo modo il sistema и in equilibrio. Preso un qualunque punto A sul filo, esso и tenuto in equilibrio dai vincoli e da tutto il resto del filo: poichй esso и appoggiato, la forza di gravitа non influisce. Il peso del filo e la posizione reciproca delle carrucole non modificavano l’esito dell’esperimento: infatti, anche alzando o abbassando una carrucola e lasciando l’altra ferma lo stato di equilibrio non cambiava.
Con lo stesso allestimento, abbiamo eseguito anche un altro esperimento: abbiamo posto altri due pesetti uguali ai primi sul filo teso tra le due carrucole. Lo stato di equilibrio non и cambiato; forniamo il diagramma del corpo libero per analizzare le forze implicate e le interazioni.

Se vale la legge del parallelogrammo, l’angolo ? deve misurare 120°: и questo l’unico caso in cui la risultante ha modulo uguale ai moduli dei vettori addendi, purchй questi siano uguali tra loro.

Per ulteriore riprova della legge del parallegrammo, proviamo a vedere se essa ha ancora valore nel caso in cui l’angolo compreso и di 90°. Applichiamo 3 pesetti a una estremitа del filo, 4 all’altra e, se ha valore la terna pitagorica 3,4,5, per mantenere l’equilibrio dobbiamo mettere 5 pesetti sul filo. Infatti, con 5 pesetti il sistema и in equilibrio.
Le forze entrano di diritto a far parte dei vettori poichй abbiamo potuto verificare che seguono le regole dettate dall’algebra vettoriale. Appunto poichй vettori, esse si possono comporre e scomporre secondo la direttrice orizzontale e quella perpendicolare al piano di riferimento. Con l’esperimento seguente, ci siamo occupati di studiare l’equilibrio su un piano inclinato, cioи non orizzontale. In esso sono caratteristici l’angolo che si viene a formare con il piano orizzontale (?), l’altezza e la lunghezza.

h/l и la pendenza oppure il seno dell’angolo ?
Appoggiamo sul piano inclinato un corpo e vediamo quali forze sono applicate a esso e quali dobbiamo applicargli per tenerlo in equilibrio.
P = (0.98 P 0.01) N
Il sistema di riferimento и orientato a seconda della traiettoria, cosicchи possiamo scomporre le forze nelle loro componenti perpendicolari tra loro.
Analizziamo quali sono le interazioni delle forze che agiscono sul carrello. Il carrello interagisce con la Terra, per cui vi и la forza di gravitа; inoltre interagisce con il piano d’appoggio: la reazione vincolare non ha la stessa direzione del peso, poichй и perpendicolare al piano, lungo l’asse y. Il problema riguarda due dimensioni, quindi possiamo scomporre le forze nelle componenti cartesiane: scompongo P in Px e in Py.
ALL’EQUILIBRIO
Se il carrello fosse sul piano orizzontale, la reazione vincolare dovrebbe essere maggiore. Se fosse verticale, Py sarebbe parallela al piano inclinato, per cui la reazione vincolare sarebbe zero. Se non applico una forza Fx, il corpo cade lungo il piano inclinato per effetto della sola Px.
Per ottenere i valori numerici per Px e Py, abbiamo applicato due dinamometri al carrello, in modo che uno fosse sulla direzione della parallela e uno sulla direzione della perpendicolare. Per poter leggere la misura di Py, dovevamo poter individuare la posizione del dinamometro in cui esso si sostituisce al piano inclinato: questa и raggiunta quando il carrello sfiora il piano.
??= (30 ? 1)o
Fx = (0.49 0.02)* N
* l’incertezza sulla misura и maggiore della risoluzione strumentale poichй и da considerarsi che sul sistema influisce una forza di attrito.
Poichй l’angolo misura 30°, mi aspetto che:

Il risultato ottenuto sperimentalmente и il seguente:
Fy = (0.87 0.02)** N
** in questo caso non agisce l’attrito, ma l’incertezza и comunque 0.02 N a causa dell’usura del dinamometro, la cui scala potrebbe essersi alterata in seguito a numerose misure, e dell’allineamento sulla perpendicolare, che non и stato ottenuto previa una misura accurata, ma in modo piuttosto qualitativo.
discrepanza = |0.87 - 0.85| = 0.02 N
I due valori sono compatibili poichй la discrepanza non и significativa (и dell’ordine di grandezza dell’incertezza di misura): siamo riusciti a verificare la condizione di equilibrio del carrello.
Vi и un altro metodo per verificare come sia soddisfatta la condizione di equilibrio del carrello: calcoliamo il valore di P a partire dai valori di Fy e Fx e controlliamo se esso и compatibile con il valore sperimentale.
discrepanza = |1.00-0.98| = 0.02 N
Poichй la discrepanza и dell’ordine di grandezza dell’incertezza di misura, essa non и significativa e i due valori di P sono compatibili: siamo riusciti a verificare la scomponibilitа delle forze con un altro metodo.
Ripetiamo lo stesso esperimento variando l’angolo ? e portandolo a (45 1)o. in questo esperimento, rispetto all precedente, Fx и maggiore ed и congruente in modulo a Fy, perchй valgono i rapporti tra i lati di un triangolo metа di un quadrato.
I valori ottenuti sperimentalmente sono compatibili con quelli calcolati sia per Fx che per Fy, poichй le discrepanza non sono significative in alcuno dei due casi, infatti sono risultate sempre minori, o al piщ uguali, alle incertezze sia di misura che calcolate.
Anche in questo esperimento facciamo un’ulteriore riprova calcolando il valore di P a partire da Fx e Fy misurate.
La riprova ottenuta in quest’ultimo modo dа ancora la conferma di quanto sopra: i valori ottenuti sono nuovamente compatibili, poichй la discrepanza tra di essi и nulla.
Al termine di questa serie di esperimenti, benchи alcuni di essi fossero prevalenemente qualitativi, possiamo aggiungere senza dubbio alcuno le forze alle grandezza vettoriali. Infatti, non solo abbiamo trattato di loro direzioni, versi e moduli, ma abbiamo potuto anche verificare, in ben due modi diversi per i soli ultimi due esperimenti e anche dall’osservanza della regola del parallelogrammo, che esse si comportano secondo le regole dell’algebra vettoriale.
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LE FORZE SONO GRANDEZZE VETTORIALI?
Scopo
Verificare che le forze sono grandezze vettoriali, controllando che seguono le regole dell’algebra vettoriale.
Apparecchiatura
 2 dinamometri (risoluzione 0.01 N; fondoscala);
 piano inclinato con scala graduata in o (risoluzione 1o; scala da 0o a 75o);
 carrello
 filo
 2 carrucole
Descrizione dell’esperimento con accorgimenti di carattere tecnico
Poichй vogliamo verificare il carattere vettoriale delle forze, dobbiamo accertarci che seguano le regole imposte dall’algebra vettoriale. Infatti, non tutte le grandezze fisiche che hanno un segno positivo o negativo davanti al valore numerico sono vettori: ad esempio tra queste vi и la temperatura, che и uno scalare, poichй non ubbidisce all’algebra vettoriale. Per accertarci quindi del fatto che le forze siano vettori possiamo allestire un esperimento che ci permetta di apprezzare la regola del parallelogrammo, che graficamente riguarda la somma (diagonale uscente dal vertice comune) o la differenza (l’altra diagonale).
Prima di passare all’esperimento vero e proprio, definiamo innanzitutto la forza pari a 1 Newton (N): essa и quella forza che, applicata al Kg campione, gli imprime una accelerazione di 1 m/s2. Come strumento per misurare le forze usiamo un dinamometro; questo ci fornisce le misure attraverso un metodo statico, infatti il principio su cui si basa и l’allungamento di una molla (legge di Hook). Poichй и stato definito il N, и stato possibile applicare questa forza per tarare uno strumento, nella fattispecie deformando la molla.
Realizziamo alcune dimostrazioni dell’uso del dinamometro. Avvalendoci di un supporto, appendiamo il dinamometro e vi agganciamo 4 pesetti uguali. In questo modo, ci accorgiamo che i due corpi sono in equilibrio tra loro, quindi il dinamometro sta misurando non altro che l’interazione di gravitа: in poche parole, sta pesando il corpo. In questo esperimento, il dinamometro и direzionato verso il basso e misura (0.20 ( 0.01) N.
Proviamo ora a ripetere la misura cambiando la disposizione nello spazio del dinamometro e dei pesetti. Prendiamo un filo di massa trascurabile e lo mettiamo a cavallo di una carrucola, poi ai due estremi del filo agganciamo da una parte il dinamometro e dall’altra 4 dei nostri pesetti. In questo caso, il dinamometro и nel verso opposto a prima, ma otteniamo lo stesso risultato di prima. Il merito di questo va alla carrucola: essa ci permette di cambiare il verso senza alterare l’intensitа e la direzione della forza. Anche se ripetevamo le misure mettendo il dinamometro in altre direzioni dello spazio, ottenevamo comunque lo stesso risultato: la carrucola fa cambiare a nostro piacere il verso.
Giа dalle osservazioni fatte preventivamente all’esperimento principale, abbiamo parlato di direzione, verso e modulo delle forze: la natura vettoriale delle forze и perciт emersa sin da ora.
Utilizzando sempre le carrucole, abbiamo dimostrato che le forze sono soggette alla regola del parallelogrammo. Abbiamo teso un filo al di sopra di due carrucole, ponendo alle estremitа due pesetti per parte. In questo modo il sistema и in equilibrio. Preso un qualunque punto A sul filo, esso и tenuto in equilibrio dai vincoli e da tutto il resto del filo: poichй esso и appoggiato, la forza di gravitа non influisce. Il peso del filo e la posizione reciproca delle carrucole non modificavano l’esito dell’esperimento: infatti, anche alzando o abbassando una carrucola e lasciando l’altra ferma lo stato di equilibrio non cambiava.
Con lo stesso allestimento, abbiamo eseguito anche un altro esperimento: abbiamo posto altri due pesetti uguali ai primi sul filo teso tra le due carrucole. Lo stato di equilibrio non и cambiato; forniamo il diagramma del corpo libero per analizzare le forze implicate e le interazioni.

Se vale la legge del parallelogrammo, l’angolo ? deve misurare 120°: и questo l’unico caso in cui la risultante ha modulo uguale ai moduli dei vettori addendi, purchй questi siano uguali tra loro.

Per ulteriore riprova della legge del parallegrammo, proviamo a vedere se essa ha ancora valore nel caso in cui l’angolo compreso и di 90°. Applichiamo 3 pesetti a una estremitа del filo, 4 all’altra e, se ha valore la terna pitagorica 3,4,5, per mantenere l’equilibrio dobbiamo mettere 5 pesetti sul filo. Infatti, con 5 pesetti il sistema и in equilibrio.
Le forze entrano di diritto a far parte dei vettori poichй abbiamo potuto verificare che seguono le regole dettate dall’algebra vettoriale. Appunto poichй vettori, esse si possono comporre e scomporre secondo la direttrice orizzontale e quella perpendicolare al piano di riferimento. Con l’esperimento seguente, ci siamo occupati di studiare l’equilibrio su un piano inclinato, cioи non orizzontale. In esso sono caratteristici l’angolo che si viene a formare con il piano orizzontale (?), l’altezza e la lunghezza.

h/l и la pendenza oppure il seno dell’angolo ?
Appoggiamo sul piano inclinato un corpo e vediamo quali forze sono applicate a esso e quali dobbiamo applicargli per tenerlo in equilibrio.
P = (0.98 P 0.01) N
Il sistema di riferimento и orientato a seconda della traiettoria, cosicchи possiamo scomporre le forze nelle loro componenti perpendicolari tra loro.
Analizziamo quali sono le interazioni delle forze che agiscono sul carrello. Il carrello interagisce con la Terra, per cui vi и la forza di gravitа; inoltre interagisce con il piano d’appoggio: la reazione vincolare non ha la stessa direzione del peso, poichй и perpendicolare al piano, lungo l’asse y. Il problema riguarda due dimensioni, quindi possiamo scomporre le forze nelle componenti cartesiane: scompongo P in Px e in Py.
ALL’EQUILIBRIO
Se il carrello fosse sul piano orizzontale, la reazione vincolare dovrebbe essere maggiore. Se fosse verticale, Py sarebbe parallela al piano inclinato, per cui la reazione vincolare sarebbe zero. Se non applico una forza Fx, il corpo cade lungo il piano inclinato per effetto della sola Px.
Per ottenere i valori numerici per Px e Py, abbiamo applicato due dinamometri al carrello, in modo che uno fosse sulla direzione della parallela e uno sulla direzione della perpendicolare. Per poter leggere la misura di Py, dovevamo poter individuare la posizione del dinamometro in cui esso si sostituisce al piano inclinato: questa и raggiunta quando il carrello sfiora il piano.
??= (30 ? 1)o
Fx = (0.49 0.02)* N
* l’incertezza sulla misura и maggiore della risoluzione strumentale poichй и da considerarsi che sul sistema influisce una forza di attrito.
Poichй l’angolo misura 30°, mi aspetto che:

Il risultato ottenuto sperimentalmente и il seguente:
Fy = (0.87 0.02)** N
** in questo caso non agisce l’attrito, ma l’incertezza и comunque 0.02 N a causa dell’usura del dinamometro, la cui scala potrebbe essersi alterata in seguito a numerose misure, e dell’allineamento sulla perpendicolare, che non и stato ottenuto previa una misura accurata, ma in modo piuttosto qualitativo.
discrepanza = |0.87 - 0.85| = 0.02 N
I due valori sono compatibili poichй la discrepanza non и significativa (и dell’ordine di grandezza dell’incertezza di misura): siamo riusciti a verificare la condizione di equilibrio del carrello.
Vi и un altro metodo per verificare come sia soddisfatta la condizione di equilibrio del carrello: calcoliamo il valore di P a partire dai valori di Fy e Fx e controlliamo se esso и compatibile con il valore sperimentale.
discrepanza = |1.00-0.98| = 0.02 N
Poichй la discrepanza и dell’ordine di grandezza dell’incertezza di misura, essa non и significativa e i due valori di P sono compatibili: siamo riusciti a verificare la scomponibilitа delle forze con un altro metodo.
Ripetiamo lo stesso esperimento variando l’angolo ? e portandolo a (45 1)o. in questo esperimento, rispetto all precedente, Fx и maggiore ed и congruente in modulo a Fy, perchй valgono i rapporti tra i lati di un triangolo metа di un quadrato.
I valori ottenuti sperimentalmente sono compatibili con quelli calcolati sia per Fx che per Fy, poichй le discrepanza non sono significative in alcuno dei due casi, infatti sono risultate sempre minori, o al piщ uguali, alle incertezze sia di misura che calcolate.
Anche in questo esperimento facciamo un’ulteriore riprova calcolando il valore di P a partire da Fx e Fy misurate.
La riprova ottenuta in quest’ultimo modo dа ancora la conferma di quanto sopra: i valori ottenuti sono nuovamente compatibili, poichй la discrepanza tra di essi и nulla.
Al termine di questa serie di esperimenti, benchи alcuni di essi fossero prevalenemente qualitativi, possiamo aggiungere senza dubbio alcuno le forze alle grandezza vettoriali. Infatti, non solo abbiamo trattato di loro direzioni, versi e moduli, ma abbiamo potuto anche verificare, in ben due modi diversi per i soli ultimi due esperimenti e anche dall’osservanza della regola del parallelogrammo, che esse si comportano secondo le regole dell’algebra vettoriale.
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