Reti elettriche-

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Categoria:	Elettronica
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Data:	25.05.2005
Numero di pagine:	11
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Reti elettriche 1
Legge di Ohm 1
Resistenza e conduttanza 2
Leggi di Kirchhoff 2
Equazione ai nodi (prima legge di Kirchhoff) 2
Equazione di maglia (seconda legge di Kirchhoff) 2
Risoluzione di una rete applicando il metodo Kirchhoff 3
Estensione della 1 legge di kirchhoff 3
Analisi parziale delle reti e relativi teoremi. 4
Introduzione. 4
Teorema di Thevenin (Generatore equivalente di Thevenin) 4
Teorema di Norton (Generatore equivalente di Norton) 5
Teorema di Millman 6
Principio di sovrapposizione degli effetti 7
Metodo di Maxwell 8
Reti elettriche
Legge di Ohm
Il bipolo resistivo è un elemento elettrico in grado di trasformare l’energia assorbita in energia termica dissipandola nell’ambiente. Se ai capi di una esistenza R viene applicata una tensione elettrica V, nell’elemento resistivo scorrerà una corrente elettrica I. È abbastanza evidente che tra queste tre grandezze (V, I, R) vi è un legame. Per dimostrare la validità di una qualsiasi relazione che leghi le grandezze tra di loro, è necessario che questa vada bene in qualsiasi condizione, luogo, momento, ecc... Per arrivare ad una espressione tale da relazionare le tre grandezze, si può fare uso di un circuito sperimentale come quello di figura.
L'esperimento consiste nell'effettuare quattro prove.
Prima prova: spostare il commutatore T nella posizione 0 (nessun generatore collegato). Rilevando le indicazioni dei due strumenti di misura (V e A) si nota che non indicano nulla, quindi in questo caso non vi è circolazione di corrente.
Seconda prova: si porta il commutatore T nella posizione 1 (collegando al circuito il generatore di tensione E1 da 10V), gli strumenti indicano dei valori di tensione e di corrente, e cioè 10 V il voltmetro (V) e 0,5 A l'amperometro (A).
Terza prova: Col commutatore nella posizione 2 (generatore E2 = 20 V), gli strumenti indicano: 20 V e 1 A.
Quarta prova: Posizionando il commutatore su 4 (generatore E3 = 40 V), gli strumenti indicano: 40 V per il voltmetro e 2 A per l'amperometro.
Analizzando i dati ottenuti, si scopre che il rapporto tensione/corrente dei valori misurati nel circuito di prova danno un numero costante.
Da quanto si è provato, si conclude che in un circuito elettrico, se si aumenta o diminuisce la tensione a parità di resistenza, la variazione di corrente è direttamente proporzionale. Possiamo dunque scrivere:
R = resistenza elettrica in ohm
V = tensione in volt
I = Corrente elettrica in ampere
Questa formula è denominata legge di Ohm, e permette di risalire ad una grandezza elettrica di un circuito conoscendone almeno due, difatti applicando le regole della matematica, possiamo scrivere:
Resistenza e conduttanza
Quando si studia un circuito non sempre si valuta la resistenza, molte volte è preferibile conoscere il valore della conduttanza (simbolo G) cioè valutare che grado di facilità ha la corrente ad attraversare un determinato corpo. La conduttanza è quindi l'inverso della resistenza, è stata studiata dal Tedesco Siemens dal quale a preso l'unità di misura (simbolo S).
G = conduttanza in siemens
R = resitenza in ohm
Dovendo calcolare la corrente che circola in un circuito dove si conosce il valore di conduttanza, si può applicare la legge di Ohm tenendo presente dell'inverso della resistenza e quindi:
Leggi di Kirchhoff
Equazione ai nodi (prima legge di Kirchhoff)
Quando si studia una rete elettrica è fondamentale avere a disposizione alcune leggi che permettano di stabilire con assoluta certezza il valore delle varie grandezze elettrotecniche presenti. Nella maggior parte dei casi si ha a che fare con reti elettriche composte da generatori di tensione e da resistenze, pertanto le grandezze certamente note sono le f.e.m. dei generatori, e il valore delle resistenze. La grandezza mancante è la corrente che circola nelle varie maglie della rete. È bene precisare che la corrente dipende in modo complessivo dai vari collegamenti, e solo tenendo conto di tutti i collegamenti si può arrivare a calcolare la corrente.
Si prenda come esempio la figura precedente, al nodo A sono collegati tre rami nei quali circolano le correnti I sensi di percorrenza delle correnti sono stati indicati col criterio del senso convenzionale (la corrente esce dal polo + del generatore e torna al polo -). Si noti che le correnti che confluiscono ad un nodo devono in qualche modo (mediante altre correnti) uscire dal nodo stesso, nell'ipotesi che le correnti vadano tutte verso un nodo senza uscire, si avrebbe un accumulo di carica sul nodo stesso ed uno svuotamento da altre parti, questo fenomeno, non corrisponde con quanto si è precedentemente detto in proposito alla circolazione di corrente, possiamo allora sostenere che:
in un nodo la somma algebrica delle correnti è nulla (prima legge di Kirchhoff).
Tornando alla figura possiamo certamente scrivere che:
Una equazione simile alla precedente potrebbe essere scritta anche per il nodo B della figura, però siccome a questo nodo sono collegati gli stessi rami che sono collegati al nodo A, l'equazione sarebbe identica a quella precedente con eccezione dei segni che sono invertiti. Anche se si aumenta il numero di nodi in una rete è sufficiente scrivere tante equazioni quanti sono i nodi meno 1 (n - 1), questo perché nell'ultimo nodo circolano correnti già considerate in altri nodi.
Equazione di maglia (seconda legge di Kirchhoff)
Un altra equazione molto importante in elettrotecnica è la seconda legge di Kirchhoff che dice:
in una maglia la somma algebrica delle d.d.p. è nulla. (seconda legge di Kirchhoff)
In altro modo:
In una maglia la somma algebrica delle f.e.m equivale alla somma algebrica delle cadute di tensione.
Per poter applicare questa legge, bisogna chiarire quali sono le d.d.p. da considerare positive e quali negative, allo scopo, dopo aver scelto la maglia, si stabilisce a priori un senso di osservazione (normalmente in senso orario), dopodiché si considerano positive le f.e.m. che hanno segno positivo concorde con la freccia, positive sono anche le cadute di tensione sulle resistenze che hanno corrente concorde con la freccia, e si considerano negative le restanti f.e.m. e cadute di tensione. Se applichiamo questa regola alla maglia di esempio in fig., possiamo scrivere che:
Risoluzione di una rete applicando il metodo Kirchhoff
Data una rete elettrica, avente n nodi, l lati, e m maglie, per la risoluzione (cioè per determinare il valore e il verso delle correnti), si può applicare il metodo di Kirchhoff. Dovendo calcolare tutte le correnti del circuito, si devono scrivere tante equazioni quanti sono i lati (o rami) del circuito. Le equazioni da scrivere sono da scegliere tra le due leggi di kirchhoff, quindi si inizia scrivendo n-1 equazioni ai nodi, e si scrivono poi le m ( m = l - (n - 1)) equazioni di maglia. Per quanto riguarda la scelta delle maglie, è importante che esse siano indipendenti tra loro, cioè maglie le cui equazioni non sono la somma di due o più equazioni di maglie della stessa rete.
Estensione della 1 legge di kirchhoff
Da quanto si è detto fino ad ora, la prima legge di Kirchhoff risulta essere valida a qualsiasi nodo di una rete elettrica. In verità essa può essere scritta in modo più generico, difatti se si prende un area chiusa di una rete elettrica, si nota che la somma algebrica delle correnti entranti ed uscenti dai rami tagliati dall'area stessa è sempre uguale a zero.
Nella prima figura i rami tagliati dall'area di selezione sono: DA, DE, CE, ed il CB, e le relative correnti sono: e la Anche in questo caso verrà assegnato il segno positivo alle correnti entranti, e segno negativo a quelle uscenti, potremo così scrivere che:
Se applichiamo ora la legge al circuito della seconda figura, notiamo che l'area di selezione taglia un solo ramo (il BC), e quindi la corrente nel suddetto ramo è uguale a 0 A.
Analisi parziale delle reti e relativi teoremi.
Introduzione.
Non è necessario risolvere sempre in modo completo una rete elettrica per determinarne i suoi parametri, molte volte serve conoscere solo il comportamento di un ramo o di alcuni rami.
Molte volte le reti sono complesse e il numero di equazioni sarebbe tale da rendere i calcoli troppo lunghi per determinare il valore di una sola corrente. In tal caso si può applicare il principio della sostituzione, difatti è possibile sostituire una parte di circuito tra due punti (A e B) con uno avente un unico generatore ed un unica resistenza di valore tali da non variare il funzionamento del circuito stesso.
Teorema di Thevenin (Generatore equivalente di Thevenin)
Una sezione di rete elettrica complessa, delimitata da due terminali, può essere sostituita da un generatore di tensione equivalente avente:
• Fem E0 pari alla tensione a vuoto della sezione,
• Resistenza interna R0 pari alla resistenza offerta dalla sezione, vista fra i suoi terminali.
Nel calcolo di R0 si devono neutralizzare i generatori, cortocircuitandoli se di tensione, interrompendoli se dii corrente.
Come esempio si prenda in considerazione il circuito di figura:
Per rendere chiaro il teorema di Thevenin si supponga di dover calcolare la corrente circolante in , per prima cosa và calcolata la tensione , e quindi si disegna il circuito interessato.
Nella figura precedente è stato tolto il ramo tra i nodi A e B per poter calcolare la tensione a vuoto tra i due nodi.
Il valore ottenuto è il valore di tensione che deve avere il generatore equivalente di Thevenin, ora si deve ancora calcolare il valore della da inserire in serie a detto generatore. Allo scopo si disegna il circuito equivalente togliendo i generatori ed inserendo il corto circuito o il circuito aperto in funzione del tipo di generatore.
Con il nuovo circuito della figura precedente si calcola la resistenza equivalente, che in questo caso è data dal parallelo di ed .
Ora che conosciamo sia il valore equivalente della f.e.m. per il generatore di Thevenin e la resistenza da inserire in serie possiamo disegnare il nuovo schema.
Come si vede il nuovo circuito è composto dal generatore Veq di Thevenin, la resistenza Req in serie e dal ramo di precedentemente tolto per calcolare i valori equivalenti. Ora possiamo procedere a calcolare sia la (corrente in ) sia la VAB (tensione ai capi di ).
I passaggi non sono stati molti, comunque in quantità inferiore di quelli necessari con il metodo Kirchhoff. Come ulteriore verifica si può applicare il metodo Kirchhoff e verificare che il risultato non cambi.
Teorema di Norton (Generatore equivalente di Norton)
Una sezione di rete elettrica complessa, delimitata da due terminali, può essere sostituita da un generatore di corrente equivalente avente:
• Corrente generata I0 pari alla corrente di corto circuito della sezione,
• Resistenza interna R0 pari alla resistenza offerta dalla sezione, vista fra i suoi terminali.
Nel calcolo di R0 si devono neutralizzare i generatori, cortocircuitandoli se di tensione, interrompendoli se dii corrente.
Come esempio prendiamo il circuito di figura, esso è composto da due generatori di corrente I1 ed I3 e di tre resistenze R1, R2 ed R3. Se ad esempio dobbiamo calcolare la corrente che circola in R3 possiamo applicare il teorema di Norton procedendo nel seguente modo.
Per prima cosa si sostituisce ad R2 un cortocircuito, dopodiché si passa a calcolare la corrente che vi circola. Per determinare la corrente nel cortocircuito è sufficiente applicare la prima legge di Kirchhoff.
La corrente Ieq ottenuta è la stessa che deve avere il generatore Geq di Norton. Come operazione successiva si eliminano dal circuito le grandezze attive (V ed I) sostituendole con il relativo circuito equivalente.
In figura è riportato il circuito equivalente senza generatori, come si vede le due resistenze R1 ed R2 risultano scollegate dal circuito quindi in parallelo al generatore di Norton in questo caso non vi è alcuna conduttanza. Il circuito finale per il calcolo della I in R2 (I2) è riportato nella figura successiva:
Come si vede dalla figura il circuito risulta composto da un solo generatore Ieq e dalla resistenza R2, pertanto la corrente in R2 ha lo stesso valore di Ieq , mentre resta da determinare la VAB:

Teorema di Millman
Si è già visto come sia possibile risolvere una rete elettrica in diversi modi più o meno complessi. Molte volte serve solo determinare le caratteristiche di uno o di alcuni rami della rete senza dover calcolare le grandezze in tutta la rete. Se la rete o parte di essa è ridotta o riducibile a soli due nodi A e B, è possibile determinare la tensione ai capi dei nodi in modo alquanto semplice, difatti il teorema di Millman ci permette di calcolare la tensione tra due nodi quando il circuito è semplificato nella forma rappresentata in figura:
Applicando il primo principio di Kirchhoff al nodo A possiamo scrivere:
Detta VAB la tensione tra i nodi A e B, è anche:
quindi:
Generalizzando:
La tensione fra i nodi A e B è il rapporto fra la somma delle correnti dei generatori di corrente e la somma delle conduttanze.
Nel calcolo occorre tenere conto che, se un bipolo di corrente ha verso opposto, va computato con il segno negativo.
Se la rete elettrica presenta lati comprendenti generatori di tensione, questi vanno computati due volte. Infatti, tenendo presenti le formule di trasformazione, ogni generatore di tensione da logo a due rami in parallelo:
• Uno attivo, di corrente
• Uno passivo, di conduttanza
La legge relativa ad una rete comprendente solo generatori di tensione diventa:
Principio di sovrapposizione degli effetti
Per ogni rete elettrica sono validi i due principi di Kirchhoff:
Per ogni nodo:
Per ogni maglia:
I due principi consentono di scrivere un sistema di l equazioni indipendenti:
n-1 con il 1° pdK,
l-(n-1) con il 2° pdK
che permette di determinare l incognite dove l è il numero dei lati o rami della rete.
Se la rete è costituita da resistenze costanti, che non dipendono cioè dai valori delle correnti nei rami, e da generatori ideali di tensione e di corrente, si dice lineare. Infatti l'applicazione dei due principi conduce ad un sistema di equazioni a coefficienti costanti, le cui soluzioni sono combinazioni lineari dei termini noti.
Si calcoli ad esempio l'intensità I nella resistenza R della rete di figura utilizzando normalmente i principi di Kirchhoff.
si ha:
Ponendo:
Si ha:
dove I' ed I'' sono le correnti nelle due sottoreti

La prima è la rete che si ottiene da quella originaria, annullando l'azione del generatore di tensione, la seconda quella in cui è annullata l'azione del generatore di corrente.
Quanto sopra non è una dimostrazione generale, solo un esempio, ma si può facilmente intuire, e matematicamente dimostrare, che si tratta di un fatto generale.

Si ha allora che la corrente in un singolo ramo (effetto) è uguale alla somma algebrica delle correnti che vi sarebbero prodotte dai singoli generatori presenti nella rete se agissero separatamente.
Risolvere una rete con il principio di sovrapposizione degli effetti significa allora scomporre la rete originaria in tante rete parziali quanti sono i generatori, calcolare la corrente nei rami per ognuna di queste reti, utilizzando il metodo della resistenza equivalente, sommare infine algebricamente le correnti parziali.
Definizione
In un rete lineare, composta cioè di generatori ideali di tensione e di corrente e di resistenze costanti, l'intensità di corrente in un ramo e la tensione ai capi di un bipolo (gli effetti) si ricavano dalla somma algebrica rispettivamente delle intensità di corrente e delle tensioni ai capi del bipolo, prodotte da ogni generatore ( la causa) agente singolarmente.
Per annullare l'azione di un generatore di corrente si apre il ramo in cui esso è inserito; per annullare l'azione di un generatore di tensione si cortocircuita la sua forza elettromotrice.
Metodo di Maxwell
Se il numero di incognite diventa elevato, la soluzione del sistema diventa notevolmente complicata; per questo motivo si sono introdotti altri metodi molto simili ma aventi un numero ridotto di equazioni e di incognite. Il metodo di Maxwell o delle correnti cicliche, utilizza solo le equazioni alle maglie, un sistema formato cioè solo da L-(N-1) equazioni alle maglie con incognite fittizie in base alla quale si ricavano più semplicemente tutte le correnti reali. L rappresenta il numero delle incognite, ed N il numero dei nodi.
Si procede nel seguente modo:
1)si assegna ad ogni maglia una corrente ciclica fittizia di maglia. Si avranno così tante correnti fittizie incognite quante sono le maglie indipendenti.
2)si scrivono le equazioni alle maglie (utilizzando il secondo principio di Kirchhoff) in funzione delle suddette correnti fittizie; risolvendo il sistema si ricavano le correnti fittizie incognite. Dove vi è un generatore di corrente, è opportuno non scrivere un’equazione alla maglia, poiché la corrente di queste maglie risulterebbe essere quella del generatore stesso, ma anche perché vi sarebbe un’ulteriore incognita: la tensione ai capi del generatore.
3)infine si calcola la corrente reale in ogni ramo(mediante il primo principio di Kirchhoff) come somma algebrica delle correnti fittizie su quel ramo.
Si consiglia di attribuire lo stesso verso a tutte le correnti fittizie e di considerare maglie adiacenti.
Si consideri, ad esempio, il seguente circuito:
Chiamiamo le correnti fittizie CA e eB e gli attribuiamo un verso arbitrario orario, avremo:
Risolvendo il sistema otterremo 2 soluzioni( i valori di RA e di eB). Per ottenere le singoli correnti occorre valutare attentamente il circuito; in tale modo si avrà:
)1 =-=A
A3 ==A - -B
B5 = =B
Esercizio 1
V1=1 V V2=3 V V3=10 V R1= R3=100 Ω R2=200 Ω R4=150 Ω R5=50 Ω
Determinare il valore della tensione ai capi di R5.
Risolvere l’esercizio con l’applicazione del teorema di Thevenin e successivamente con i principi di Kirchoff. Analizzare brevemente i due metodi.
Di seguito è riportata la soluzione utilizzando un programma di simulazione.
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