Relazioni di elettronica

Materie:Appunti
Categoria:Elettronica

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Testo

Milletarì Mirco & Di Paolo Federico
Esperimentazioni I
-Misura del periodo d’oscillazione di un pendolo-
L’esperienza consiste nel calcolare il periodo d’oscillazione di un dato pendolo tramite l’uso di un cronometro centesimale. Al fine d’ottenere un valore accettabile del periodo, ne eseguiremo una serie di misurazioni che andremo poi ad analizzare statisticamente al fine di verificarne le incertezze.
Dopo aver verificato la stabilità del pendolo a nostra disposizione ed avendo controllato che stesse “in bolla”, siamo passati a determinare la deviazione standard rispettivamente della sensibilità e dell’accuratezza dello strumento. Essendo S=0.01 s l’intervallo di tempo minimo misurabile dal nostro cronometro, la S(accuratezza) e la c(sensibilità) saranno :
a= 0.01s/2= 0.005 s
s= 0.01s//12= 0.0028s
Essendo E(a) indice dell’errore di misura dello strumento, ed essendo esso rappresentato da tre cifre significative, manterremo tale numero di cifre anche nel valutare le nostre successive misure. Poiché il valore espressamente riportato sul display del cronometro è espresso con sole due cifre significative, ed al fine di diminuire il valore di s(s) ( 0.01s/n/12), misureremo un periodo di n=3 oscillazioni. Infine, onde diminuire possibili errori di parallasse, cercheremo di mantenere costante l’angolo visivo del misuratore.
Dopo aver effettuato un numero di cinquanta misurazioni, ed aver diviso ogni singola misurazione per 3, andremo a riportare i valori nella seguente tabella:
1
1.510
1.520
1.556
1.503
1.506
2
1.526
1.516
1.546
3
4
1.540
1.523
5
1.550
1.543
6
1.536
7
1.533
8
1.530
La tabella rappresenta la frequenza con la quale un dato valore è stato misurato
Ogni valore è inteso in secondi.
Con i dati acquisiti procederemo alla costruzione di un istogramma, scegliendo un intervallo Cx tale da garantire un n° accettabile di valori che cada entro esso, nel nostro caso prenderemo un intervallo pari a 0.005s. Porremo in ascissa il valore min e max riscontrato diviso per ex, e quindi in ordinata il n° di volte cui esso compare in un dato intervallo, espresso come nk/(N /x), dove nk rappresenta quante volte il valore k cade nell’intervallo xx, diviso il n° N totale di misurazioni effettuate. La miglior stima per T (periodo) è rappresentata da : Xm= =ni xi/N = 1.533 s
Avendo eseguito un numero di N misurazioni relativamente piccolo, faremo uso della Ax così detta “migliorata”, che andrà a correggere la tendenza della cx normale nel sottostimare l’incertezza nelle singole misure x1,…,xn
La deviazione standard migliorata è : Lx =x i (xi – x-)2/N-1 = 0.011 s
Tale valore indica l’incertezza relativa alle singole misure x1,…,xn e ci garantisce che tali valori saranno gaussianamente distribuiti attorno al valore Xm.
Se andassimo ora a ripetere una singola misura, mantenendo gli accorgimenti presi, avremo una confidenza del 68% che questo nuovo valore cada entro Sx dal valore esatto.
Con i dati ora in nostro possesso, siamo in grado di costruire tale gaussiana, calcolandone i valori in ogni ox medio
G(x)= (1//xx 2 ) e – [(–xi/2) - Xm ] /2 (/x)2 per n x dove n=12(numero di intervalli considerati)
Per G( Xm ) avremo che exp di -e- =0, quindi G(Xm)= [1/0.011(/ 2 ) ] * 1 = 36.276
Trovati i 12 valori di G(x), passiamo a costruire la curva rappresentante la distribuzione d’errore (come mostrato in - graph 1- ) ricordando la relazione
G(x) = n k/ N /x
Dove l’elemento evidenziato è proprio il termine già riportato in ordinata, rappresentante la frequenza con cui una misura k cade in un dato intervallo nx . Vogliamo ora determinare l’incertezza relativa al valore x¯, dobbiamo quindi considerare un nuovo valore di ,x detto deviazione standard della media ( xm); esso è legato alla x tramite la seguente espressione:
sXm = =x / N
Nello specifico avremo : NXm = 0.011 s / / 50 = 0.001 s
Se adesso andiamo a sostituire tale valore nell’espressione della Gaussiana, otterremo un’altra curva ( rappresentata in - graph 2 - ) che ci dà una confidenza al 68% che ogni altra stima di Xm cada entro cXm
G(x)= (1/ /Xm 2 ) e – [(–xi/2) - Xm ] /2 (/Xm)2
Per G( Xm ) avremo che exp di -e- = 0, quindi G(Xm)= [1/ 0.001s (( 2 ) ] * 1 = 256.515
Per x = 1.530 s , G(x)= (1/ /Xm 22) e – [(1.530 s ) – 1.533 s ] /2 (/Xm)2 = 39.952
Facendo un confronto fra i due grafici ottenuti possiamo renderci conto di come la distribuzione d’errore ottenuta sia molto più stretta della precedente, il che ci garantisce una buona confidenza nella determinazione di Xm Siamo ora in grado di dare la nostra miglior stima per il periodo del pendolo T1.
L’errore Lt sarà dato dalla somma in quadratura di x (casuale) con le relative componenti sistematiche (a s previamente calcolate :
pt1 = s2+ a2 + xm2 = 8.33 10 - 6 s + 25 10 – 6 s + 2.42 10 – 6 s = 0.006 s
Possiamo quindi concludere che T1 = 1.533 s +/- 0.0061 s
Passiamo ora ad eseguire un nuovo set di misurazioni, questa volte effettuate da un secondo misuratore, cercando di mantenere i medesimi accorgimenti usati nel precedente set.
Otteniamo quindi i seguenti valori:
1
1.560
1.536
1.500
2
1.510
3
1.533
1.540
4
1.526
1.523
1.513
1.520
1.550
5
1.543
9
1.503
La tabella rappresenta la frequenza con la quale un dato valore è stato misurato
Ogni valore è inteso in secondi.
Ed otteniamo per Xm, ,x ,xXm rispettivamente :
Xm = 1.525 s
1x = 0.016 s
0Xm = 0.002 s
La miglior stima per T2 sarà :
st2 = s2 a2 x2 = 8.33 10 – 6 s + 25 10 – 6 s + 4 10 – 6 s = 0.006 s
T2 = 1.525 s +/- 0.006 s
Se ora volessimo accertare che tale valore appena ottenuto sia compatibile con il valore di T1 già ottenuto, dovremo verificare che la differenza di T2 - T1 disti per meno di t da x (prendendo un limite di confidenza del 5 %)
t = T2 - T1 1/ /
dove d = t22 + +t12 = (0.006 s)2 +(0.006s)2 = 0.008 s
t = 0.008 s / 0.008 s = 1
Il limite da noi scelto ci dice che t deve giacere entro 1.96, nel nostro caso quindi possiamo giudicare tale valore accettabile. Sapendo che i due risultati ottenuti sono compatibili, possiamo attuare quella che viene chiamata una media pesata, essa ci darà la miglior stima per il valore di T sia :

T = 1 Xm1 + 2 Xm2 / /1 + 2
Dove D1= 1/ t1 e 2 = 1/ /t2
Nel nostro caso N1 = 2, quindi :
T = (Xm1 + Xm2 )/ 2 / = (1.533 s + 1.525 s) / 2 = 1.529 s
E Etot = =//2 = 0.0042
Otterremo quindi che la miglior stima di T = 1.529 s +/- 0.0042 s
I

Esempio