Metodi di risoluzione dei circuiti

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Testo

METODI DI RISOLUZIONE

Per risolvere le reti elettriche, o, meglio, per calcolare i valori delle correnti e delle tensioni presenti in una rete, si dispone di vari teoremi, ciascuno dei quali è particolarmente adatto per alcune delle varie configurazioni circuitali.

i PRINCIPIO DI KIRCHHOFF

In una rete elettrica, la somma algebrica delle correnti entranti in un nodo è uguale a zero:
= 0

Alle correnti entranti viene attribuito un verso positivo arbitrario, mentre a quelle uscenti, un verso negativo, sempre arbitrario.
Prendendo come esempio questa rete elettrica:

Applicando il A principio di Kirchhoff al nodo A si avrà
1 - -2 - -3 =0

quindi q1 = =2 + +3

Da qui possiamo dedurre che in un nodo, la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti.

IL PRINCIPIO DI KIRCHHOFF

In una maglia, la somma algebrica (I) di tutte le tensioni presenti è uguale a zero.
E1 + + R111 + + VI =0
Nell’espressione:
• E1 rappresenta la tensione dei generatori di tensione;
• R111 rappresenta la tensione ai capi delle resistenze;
• VI rappresenta la tensione ai capi del generatore di corrente.
Visto che è una somma algebrica, bisogna attribuire un segno positivo o negativo ad ogni termine.
Si procede nel seguente modo:
1)si stabilisce un verso arbitrario di percorrenza della maglia;
2)si stabilisce il segno algebrico di ogni tensione inserita nella sommatoria, (esso sarà positivo se la tensione è concorde con il verso di percorrenza stabilito e negativo se è discorde).
Avendo come esempio questa rete elettrica:

Volendo applicare il secondo principio di Kirchhoff e scegliendo come verso di percorrenza della maglia quello orario si avrà:
R111 - R222 - E3 + VI4 =0

Come applicare Kirchoff – METODO DI KIRCHHOFF

Il metodo di Kirchhoff basato su due principi: impostare e risolvere un sistema di equazioni nel quale sono incognite le correnti nei vari rami.
Nell’applicazione del metodo si procede nel seguente modo:
1)si distribuisce in modo arbitrario il verso alle varie correnti in ogni ramo.
2)si determina il numero N di nodo presenti nel circuito e quindi si impostano N-1 equazioni ai nodi (eliminando un nodo qualsiasi) tenendo conto dei versi attribuiti alle correnti (per fare ciò viene utilizzato il primo principio di kirchhoff).
3)si determina il numero L di correnti incognite del sistema e, mediante il secondo principio di Kirchhoff, si impostano L-(N-1)equazioni delle tensioni alle maglie.
•si consiglia di non utilizzare maglie aventi un ramo con un generatore di corrente perché si introdurrebbe un’altra incognita: la tensione ai capi del generatore.
In questo modo è possibile calcolare tutte le correnti incognite. Le correnti che risulteranno negative scorrono in senso opposto a quello previsto
METODO DI MAXWELL

Se il numero di incognite diventa elevato, la soluzione del sistema diventa notevolmente complicata; per questo motivo si sono introdotti altri metodi molto simili ma aventi un numero ridotto di equazioni e di incognite. Il metodo di Maxwell o delle correnti cicliche, utilizza solo le equazioni alle maglie, un sistema formato cioè solo da L-(N-1) equazioni alle maglie con incognite fittizie in base alla quale si ricavano più semplicemente tutte le correnti reali. L rappresenta il numero delle incognite, ed N il numero dei nodi.
Si procede nel seguente modo:
1)si assegna ad ogni maglia una corrente ciclica fittizia di maglia. Si avranno così tante correnti fittizie incognite quante sono le maglie indipendenti.
2)si scrivono le equazioni alle maglie (utilizzando il secondo principio di Kirchhoff) in funzione delle suddette correnti fittizie; risolvendo il sistema si ricavano le correnti fittizie incognite. Dove vi è un generatore di corrente, è opportuno non scrivere un’equazione alla maglia, poiché la corrente di queste maglie risulterebbe essere quella del generatore stesso, ma anche perché vi sarebbe un’ulteriore incognita: la tensione ai capi del generatore.
3)infine si calcola la corrente reale in ogni ramo(mediante il primo principio di Kirchhoff) come somma algebrica delle correnti fittizie su quel ramo.
Si consiglia di attribuire lo stesso verso a tutte le correnti fittizie e di considerare maglie adiacenti.
Si considera, ad esempio, il seguente circuito:

Chiamiamo le correnti fittizie CA e eB e gli attribuiamo un verso arbitrario orario, avremo:
{ -V + R3 ( A - -B )- R* )=0
{ R5 5B - R3 ((A - -B )=0
Risolvendo il sistema otterremo 2 soluzioni( i valori di eA e di eB). Per ottenere le singoli correnti occorre valutare attentamente il circuito; in tale modo si avrà: I1 =-=A 3 ==A - -B 5 = =B
METODO DEL POTENZIALE AI NODI
Il metodo del potenziale ai nodi è basato sui principi di Kirchhoff, utilizzando N-1 equazioni ai nodi.
In questo caso le incognite sono le tensioni ai nodi, rispetto ad un qualsiasi nodo preso come punto di riferimento.

Si procede nel seguente modo:
1. Si sceglie un nodo di riferimento e si attribuisce il valore incognito fra ciascun nodo ed il riferimento;
2. Si sceglie in modo arbitrario il verso delle correnti in ogni ramo;
3. Si esprimono le correnti nei vari rami, in funzione delle tensioni incognite ai capi del ramo, mediante la legge di Ohm generalizzata;
4. Si imposta un sistema di N-1 equazioni ai nodi, utilizzando le espressioni di corrente precedentemente ricavate;
5. Risolvendo il sistema si ricavano le singole tensioni ai nodi;
6. Si sostituiscono le tensioni nelle equazioni del punto 3 ricavando le correnti.

TEOREMA DI THEVENIN

Un circuito qualsiasi, visto da due punti A e B, equivale ad un generatore di tensione reale avente morsetti in A e B tensione Eth e resistenza interna Rth posta in serie al generatore.
Il teorema di Thevenin è applicabile su di un circuito lineare complesso. Ci permette di sostituirlo con un circuito equivalente ad esso, formato da un generatore equivalente ed una resistenza equivalente in serie ad esso.
Per il calcolo della Rth , si cortocircuitano i generatori di tensione e si aprono quelli di corrente. Occorre quindi ricavare il valore di VAB, che corrisponde a quello del generatore equivalente.

Il circuito equivalente sarà:

TEOREMA DI NORTON
Il teorema di Norton è molto simile a quello di Thevenin. Esso viene enunciato nel seguente modo:
- un circuito, visto da due punti A e B, equivale ad un generatore di corrente avente i morsetti in A e B ed una resistenza posta in parallelo al generatore.

Per il calcolo del generatore di corrente equivalente Ieq, occorre porre in corto circuito i punti A e B con un conduttore esterno. La corrente Ieq coincide con la corrente che transita in tale conduttore.
Per il calcolo della Req si procede come per il teorema di Thevenin.

METODO DELLA SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
Se si ha un circuito composto da più generatori, la corrente in un ramo o la tensione tra due punti, può essere calcolata sommando algebricamente le correnti o le tensioni, per effetto di ogni generatore considerato separatamente.

Si procede nel seguente modo:
1. Si scompone il circuito in tanti circuiti, aventi ciascuno un solo generatore (si cortocircuitano i generatori di tensione e si aprono quelli di corrente). Ogni circuito risulta quindi alimentato da un solo generatore.
2. Si collocano le correnti nei rami di ciascun circuito così ottenuto.
3. Si ricavano le correnti effettive nei rami del circuito, sommando algebricamente le correnti parziali in ogni ramo di ciascun circuito componente.

La sovrappossizione si usa, in genere, quando si hanno più generatori su più rami.

TEOREMA DI MILLMAN
Il teorema di Millman è utilizzato nel caso in cui si ha un circuito con due soli nodi: si può calcolare rapidamente la tensione fra questi due punti.
E’ necessario dividere la somma algebrica delle correnti nei singoli rami per la somma dell’inverso delle resistenze (somma aritmetica delle conduttanze).
Per quanto riguarda la somma delle correnti, si considerano i versi positivo o negativo secondo la disposizione dei generatori.

Esempio- Si fa riferimento al circuito della pagina seguente.

VAB= [(V1/R1)-I2+(V3/R3)] /[(1/R1)+(1/R2)]

Esempio