Impedenza e i numeri complessi

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Testo

RELAZIONE SUL:

• Concetto d’impedenza;
• Impedenza in serie e in parallelo;
• Numeri complessi e regole.

IL CONCETTO DI IMPEDENZA

Per poter lavorare con il concetto d’impedenza bisogna conoscere:

• XC → Reattanza capacitiva;
• R → Resistenza;
• XL → Reattanza induttiva.

Condensatore:
e(t)-i(t)dt=0 ↓XC = =
Nel condensatore la corrente e la tensione sono sfasate di - (90°). Il comportamento della reattanza capacitiva dipende dalla frequenza.

f → ∞ XC → 0
f → 0 XC → ∞
Resistore:
e(t)-Ri(t)=0 0 ≤ R ≤ ∞

Nel resistore la corrente e la tensione sono in fase e la resistenza non varia al variare della frequenza.

Induttore:
e(t)-L=0 ↑XL = L = 2fL
Nell’induttore la corrente e la tensione sono sfasate di . Il comportamento della reattanza induttiva dipende dalla frequenza.

f → ∞ XL → ∞
f → 0 XL → 0

Condensatore, Resistore e Induttore:
Z = R - j+ j L
Nel circuito in figura, l’impedenza (Z) è in funzione di R. Analizzando tre diverse fasi sul grafico possiamo dire che:
• F* : è la frequenza che annulla XC e XL (omnico-resistiva o puramente resistiva);
• F*1 : la frequenza è prevalentemente capacitiva (omnico-capacitiva);
• F*2 : la frequenza è prevalentemente induttiva (omnico-induttiva).

Z = R+XL+XC
In realtà non è proprio così perché la XL e la XC sfasano tra di loro tensione e corrente. Per questo motivo si tiene conto della stessa formula ma con lo j d’avanti.
Z = R + jXL + XC oppure Z = R + jXL – jXC
Z = R + jXL → prevale la parte induttiva
Z = R – jXC → prevale la parte capacitiva

INDUTTANZA IN SERIE E IN PARALLELO:

Prendiamo in esame due impedenze:

• Z1= 5+j3
• Z2 = 4-j5

Impedenze in serie:
Due o più impedenze sono in serie se sono attraversate dalla stessa corrente.
Zs = Z1+Z2
Zs = (5+j3)+(4-j5)
Zs = 9-j2
Impedenze in parallelo:
Due o più impedenze sono in parallelo se hanno la stessa caduta di tensione.
Zp =
Zp =
Zp =
Zp =
A questo punto bisogna razionalizzare. Per razionalizzare bisogna moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per il complementare del denominatore. Il complementare di un numero complesso è un numero che ha la stessa parte reale e la parte immaginaria di segno opposto.
Zp =
Zp =
Zp =

NUMERI COMPLESSI E REGOLE:

Rappresentazione simbolica.

In generale non esistono le radici d’ordine pari di numeri negativi. Per risolvere questo problema sono stati inventati i numeri complessi. Per costruire i numeri complessi s’introduce l'unita' immaginaria "i" così definita:
i2 = -1 cioè = i

Quindi possiamo dire che un numero complesso è un numero composto da una parte reale e da una parte immaginaria.
La parte reale è costituita da un numero normalissimo.
La parte immaginaria è costituita da un unità immaginaria “j” che corrisponde a, e da un coefficiente della parte immaginaria.

Con i numeri complessi si possono eseguire le stesse operazioni che si eseguono con i numeri reali:
• Addizione → si esegue sommando le parti reali e poi le parti immaginarie;
• Sottrazione → si esegue sottraendo le parti reali e poi le parti immaginarie;
• Moltiplicazione → si esegue come una comunissima moltiplicazione tra binomi;
• Divisione → si esegue moltiplicando sia il numeratore che il denominatore per il complementare del denominatore. Il complementare di un numero complesso è un numero che ha la stessa parte reale e la parte immaginaria di segno opposto.

Esempio



  



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