Formulario di Comunicazioni Elettriche

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Categoria:Elettronica

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Testo

Probabilità di A dato B
detta una partizione di
Teorema della probabilità totale
Formula di Bayes per passare dalla priorità a priori a quella a posteriori
Formula di Bernoulli di successi su eventi
Funzione di distribuzione cumulativa o ripartizione di probabilità
Proprietà 1) è non decrescente 2) è continua a destra
3) 4)
5) 6)
Probabilità di trovarsi in un intervallo
Funzione densità di probabilità
Proprietà 1) 2)
3)
Densità normale

Densità normale o gaussiana (usata per modellare il rumore).

Distribuzione di Laplace che modella il segnale vocale

Distribuzione esponenziale che modella i guasti

Distribuzione binomiale
=# successi in un esperimento bernoulliano di prove
Distribuzione geometrica
=# di volte che devo eseguire un esperimento per avere successo
Media o valore atteso o momento del primo ordine
se continua se discreta
in generale
Si definisce la varianza come la differenza tra il valore quadratico medio e la media quadratica
Funzione di distribuzione cumulativa congiunta
Le distribuzioni marginali si ricavano come segue

Densità di probabilità congiunta
se ed sono statisticamente indipendenti
TEORIA DELL’INFORMAZIONE
quantità di informazione associata al simbolo e si misura in bit
Entropia di informazione
l’uguaglianza vale solo nel caso di equiprobabilità
Un codice è univocamente decodificabile e non viola la regola del prefisso e vale la disuguaglianza di Kraft
# medio di bit
se ossia se il # di bit del simbolo è proprio
TEORIA DEI SEGNALI
con supporto
si dice che è ortogonale a se
con detta simbolo o delta di Kronecker
se allora le si dicono ortronormali
Un segnale ad energia finita o a potenza media finita definito su si può rappresentare su come combinazione lineare dei segnali come segue
con
Considerazioni energetiche
ove
Un insieme di segnali è completo se l’errore quadratico medio è nullo, in formule
Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt
Si parte da un insieme generico di segnali a supporto su
Si definiscono i segnali e i segnali che sono rispettivamente i segnali ortogonali e ortonormali.
1° segnale)
2° segnale)
dove è la proiezione di su
° segnale)
dove è la proiezione di su
SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER
segnale ad energia finita o a potenza media finita su
sia la base di Fourier, allora si può scrivere come segue
con si ricorda che
se è reale il suo sviluppo in serie è reale e i coefficienti sono generici con
se è reale e pari il suo sviluppo in serie è reale e anche i coefficienti, dove
se è reale e dispari il suo sviluppo in serie è reale e i coefficienti immaginari puri, dove
per l’energia del segnale si ha
TRASFORMATA DI FOURIER

Proprietà della Trasformata di Fourier F
F
F
F
F
F
F
F
F
Se è reale pari è reale
Se è reale dispari è immaginaria pura
ALCUNE IMPORTANTI RELAZIONI
Definizioni della di Dirac:

Prodotto di convoluzione
Energia di un segnale definito su
Densità spettrale di energia :
Teorema di Parseval (per i segnali ad energia finita e a potenza media finita) che mi dice che trasformando o sviluppando in serie di Fourier io non perdo alcuna informazione sul segnale
oppure
Formulazione generale del Teorema di Parseval per segnali ad energia finita (o periodici a potenza media finita)
se allora
Potenza media (normalizzata) di un segnale
Spettro di potenza o densità spettrale di potenza
è reale, non negativo e pari
potenza normalizzata
Se è periodico si può scrivere come
e
posto allora
quindi da cui
allora la potenza di si esprime come
ed il suo spettro di potenza come
Definizioni di decibel
Se la grandezza in esame è una potenza allora il decibel è
Se la grandezza in esame è una tensione o una corrente allora il decibel è
Si definisce decibel al milliwatt
Formula trigonometrica di Eulero
TEORIA DEI SISTEMI
Un sistema è lineare se ad una combinazione lineare degli ingressi corrisponde una combinazione lineare delle uscite.
Un sistema si dice tempo invariante o invariante per traslazioni temporali se l’uscita ritardata di una quantità coincide con l’uscita ottenuta inviando in ingresso il segnale ritardato della stessa quantità.
La risposta all’impulso caratterizza un sistema LTI (Linear Time Invariant)
dove è la risposta del sistema LTI quando all’ingresso c’è
facendo la trasformata di Fourier
dove è detta funzione di trasferimento
Densità Spettrale di Energia dell’ingresso
Densità Spettrale di Energia dell’uscita
Un sistema LTI è non distorcente se il modulo dell’uscita è costante e la fase varia in maniera lineare con
Scritto lineare con lineare con
PROCESSI CASUALI
Stazionario dell’ ordine
Stazionario del primo ordine
Un processo casuale (p.c.) che dipende dal tempo in maniera periodica è detto ciclostazionario
Media temporale di un p.c.
Media statistica o media di insieme di un p.c.
Se un p.c. stazionario è tale che il processo si dice ergodico
Funzione di autocorrelazione
se il p.c. è stazionario del secondo ordine la media congiunta non dipende dal tempo, posto
Spettro di potenza di un segnale numerico sotto l’ipotesi di stazionarietà
con e simbolo
POSSIBILI FORME D’ONDA ELEMENTARI
NRZ (non return to zero)
NRZ unipolare
NRZ antipodale
RZ (return to zero) è detto duty cycle
RZ unipolare
RZ antipodale
PARAMETRI CHE CARATTERIZZANO UN SISTEMA DI TRASMISSIONE
è la velocità di trasmissione espressa in
è la velocità di segnalazione espressa in
è la banda (unilatera) occupata dal segnale espressa in
è l’efficienza espressa in
SEGNALE
NRZ binario
==
1
RZ (50%) binario
==
0,5
NRZ quaternario
==
2

INTERFERENZA INTERSIMBOLICA (ISI)

posto segue
detto l’istante di campionamento
Distorsione di picco
con : è minima. Bisogna che altrimenti si hanno errori sistematici
Primo teorema di Nyquist che ci dice come deve comportarsi la trasformata di Fourier di un segnale elementare affinché questo segnale elementare ci assicuri ISI nulla.
dove è il segnale elementare
SEGNALE A COSENO RIALZATO
con e
graficamente:
è la banda minima
inizio e fine raccordo
banda totale (unilatera)
Coefficiente di ROLL-OFF
rapporto tra la banda aggiuntiva e la banda minima richiesta
se è zero mi trovo nel caso di una porta e non ho banda aggiuntiva, se è uno vuol dire che ho
quindi . Conoscendo si calcola come
detta la velocità do segnalazione in e segue
ossia e se ho una banda , siccome segue che
IL RUMORE
Sia un p.c. stazionario, ergodico, gaussiano, la densità spettrale del suo valore quadratico medio vale
con in , è la costante di Plank
è la costante di Boltzman
Se ci si trova ad operare con e allora l’espressione del valore quadratico medio di si approssima come
è la potenza disponibile (siamo in situazione di adattamento) che si distribuisce a valle e vale
(N.B. la resistenza non ha pedice perchè siamo in adattamento)
La densità spettrale della potenza di rumore termico disponibile di una resistenza
a vuoto sarà
con che è la potenza di rumore
CIFRA DI RUMORE
Il sistema è lineare e supponiamo il guadagno costante
Notare che è costante perchè generato internamente al bipolo.
Integrando sulla banda si ha per la seguente espressione
dove è la potenza di rumore disponibile all’uscita.
Nel caso in cui il doppio bipolo fosse una linea si ha che ,ossia la cifra di rumore coincide con l’attenuazione della linea.
Riepilogando:la cifra di rumore è il rapporto tra la densità spettrale della potenza di rumore all’uscita del doppio bipolo e la densità spettrale della potenza di rumore alluscita del doppio bipolo ne caso che il doppio bipolo non introduca rumore.
questa è la definizione operativa di cifra di runore.
TEMPERATURA EQUIVALENTE DI RUMORE
per convenzione.
Si ha
Essendo il termine che tiene conto della generazione interna
di rumore del doppio bipolo. Si vede facilmente che
e che
Cifra di rumore equivalente e temperatura equivalente di una cascata di doppi bipoli
CANALE HERTZIANO
La potenza ricevuta è
Con guadagno dell’antenna ricevente e guadagno dell’antenna trasmittente
guadagno di propagazione nello spazio libero
potenza trasmessa
è la lunghezza d’onda ed è la frequenza a cui stiamo operando
è la distanza tra le due antenne
Detta la densità spettrale della potenza di rumore disponibile all’ingresso di un canale, la densità spettrale della potenza di rumore disponibile all’uscita dello stesso canale sarà
Ossia
Un processo casuale gaussiano è detto bianco o non colorato, quando non dipende dalla frequenza, ossia quando la sua densità spettrla edi potenza è costante e vale per convenzione , il fattore ½ tiene conto del fatto che le bande in genere sono unilatere.Con
PROBABILITA’ DI ERRORE SUL SIMBOLO E SUL BIT (2-ASK, BPSK, 2-PSK)
Detta la quantità in figura, la probabilità di errore di un simbolo vale
CASO NRZ ANTIPODALE BINARIO
con banda del segnale (unilatera) ed come già definito
Si ha dove è il rapporto segnale rumore (all’uscita). Se il segnale è binario si ha , ossia la probabilità di errore sul simbolo coincide con quella sul bit, quindi e con . Si userà l’espressione più adatta in base al contesto.
CASO NRZ UNIPODALE BINARIO
con banda del segnale (unilatera) ed come già definito
Si ha dove è il rapporto segnale rumore (all’uscita). Siamo nel caso di segnale è binario.
Notare che a causa della presenza della nel mezzo della banda l’energia del segnale è dimezzata.
FILTRO ADATTATO (esalta il segnale ma non il rumore)
Sia un segnale ed un p.c. (rumore)
Le ipotesi sono:
1) è limitato nel tempo, es.
2) è nota
Segue che il filtro adattato ha la seguente Funzione di Trasferimento (FdT)
Si ha dove
Quindi utilizzando un filtro adattato ho un guadagno di , perché a parità di probabilità uso metà energia ovvero a parità di energia dimezzo la probabilità di errore.
4-ASK
Probabilità di errore sul simbolo in una costellazione equispaziata (indipendente dal segnale elementare).
Per i segnali alle estremità vale (una sola coda accavallata)
Per i segnali centrali invece vale (entrambe le code accavallate)
La probabilità media vale invece , in generale, con costellazioni equispaziate di simboli si ha . La probabilità di errore sul bit si ricava, nota , come , con numero dei simboli.
Probabilità di errore sul simbolo in una costellazione equispaziata (segnale NRZ antipodale).
Fissata l’origine tra ed , l’energia media , da cui e quindi .
Siccome e si ha.
INVILUPPO COMPLESSO
, con pulsazione istantanea, segnale modulato, reale, la cui è centrata in 0
La densità spettrale di potenza di si può scrivere come
, notare che può essere complesso
MODULAZIONE DI AMPIEZZA
:segnale modulante.
:segnale di portante
:segnale modulato
In questo caso e quindi
Efficienza . Per l’utilizzo di un demodulatore coerente deve essere
PROBABILITA’ DI ERRORE DI UN 4-PSK
Detta la probabilità di errore sul simbolo e sul bit di un BPSK si ha in generale

ma se il demodulatore del 4-PSK è composto di due demodulatori BPSK indipendenti si ha:
e quindi il BPSK ed il 4-PSK hanno la stessa probabilità di errore sul bit.
PROBABILITA’ DI ERRORE DI UN 16-QAM
NUMERO MEDIO DI RITRASMISSIONI IN UN SISTEMA CON CRC
dove indica la probabilità di ritrasmettere
PCM
Canale BSC con probabilità di errore , quantizzatore con bit
Livelli di quantizzazione
passo di quantizzazione
potenza associata all’errore di quantizzazione
potenza di segnale all’uscita del quantizzatore
rapporto segnale rumore all’uscita del quantizzatore, numero puro
rapporto segnale rumore all’uscita del quantizzatore in
rapporto segnale rumore all’ingresso del quantizzatore, numero puro
potenza associata all’errore sul bit in trasmissione
rapporto segnale rumore massimo all’ingresso del ricevitore
rapporto segnale rumore medio all’ingresso del ricevitore
in ed in corrispondenza di vale
relazione tra massimo e medio
rapporto segnale rumore sul bit all’uscita del canale BSC
rapporto segnale rumore sul bit all’uscita del canale BSC in
è la probabilità di soglia che si ricava ugluagliando e ottenendo
valore della probabilità di soglia
è il numero massimo di bit del quantizzatore per un afissata
Dato il guadagno in , allora si può scrivere

Se aumenta si sposta a sinistra e viceversa.
Rapporto segnale rumore all’ingresso del ricevitore dove:
è la costante di Boltzmann
è la potenza di segnale all’ingresso della linea
questo fattore è dovuto alla modulante che è una sinusoide
Il rapporto segnale rumore all’uscita del demodulatore raddoppia o in si somma 3
Abbundo Francesco Formulario di Comunicazioni Elettriche gen. 1997/98
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1

Esempio



  



Come usare