Insiemi di consumo e vincoli di bilancio

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Categoria:	Economia
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Data:	14.02.2001
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ECONOMIA POLITICA I
-PREMESSA-
Questa analisi viene fatta per capire come un individuo riesce a scegliere il paniere di beni che gli da maggiore soddisfazione. In quanto il consumatore posto di fronte a due possibili scelte sa sempre qual è quella che gli da maggiore soddisfazione. Qual è il piano di consumo scelto dall’individuo. Noi dovremmo risolvere il problema di scelta del consumatore, dovremo individuarle condizioni in base alle quali una scelta di consumo può definirsi ottimale dati prezzo reddito e gusti relativamente alle possibili scelte di consumo.
Sulla base di queste condizione di queste condizioni sarà possibile dedurre una serie di proprietà o regolarità che condizionano le scelte di tutti gli individui che si comportano in maniera razionale, cioè prendono le loro decisioni in accordo al principio su enunciato.
Elementi messi in evidenza per formulare una teoria completa, più precisamente dovremo dare una descrizione più dettagliata di cosa si debba intendere per:
1. INSIEME DELLE ALTERNATIVE DI CONSUMO
2. VINCOLI ALLE SCELTE INDIVIDUALI
3. PREFERENZE BEN DEFINITE RISPETTO ALLE POSSIBILITA’ DI SCELTA
INSIEME DI CONSUMO E VINCOLI DI BILANCIO
IPOTESI: sul paniere di consumo
• NON NEGATIVITA’: Un paniere di consumo sarà possibile solo se ciascuna delle sue componenti è non-negativa cioè deve essere ≥ 0
• POSSIBILITA’ DI CONSUMARE QUANTITA’ POSITIVE INFINITAMENTE GRANDI DEI BENI: ovvero la quantità consumata xj del bene j potrà avere valori compresi tra 0≤xj≤+∞. Con questa ipotesi noi intendiamo non restringere in alcun modo le possibilità di consumo degli individui.
• ADDITIVITA’: presi due panieri di consumo possibili a e b, z = a+b è anch’esso un paniere di consumo possibile.
• DI PERFETTA DIVISIBILITA’: preso un qualsiasi paniere di consumo possibile x ed una costante compresa 0≤λ≤1 il paniere di beni y=λx è anch’esso un paniere di consumo possibile (questa ipotesi in alcuni casi può essere criticata in quanto non tutti i beni sono divisibili ad esempio un’automobile)
• L’IPOTESI DI ADDITIVITA’ E PERFETTA DIVISIBILITA’ POSSONO ESSERE CAMBINATE INSIEME PER OTTENERE QUELLA CHE VIENE CHIAMATA PROPRIETA’ DI CONVESSITA’ DELL’INSIEME DI CONSUMO: questa proprietà afferma che presi due panieri di consumo possibile x e y, un paniere di consumo w che sia una loro combinazione convessa, ossia, tale che w=λx+(1-λ)y con (0≤λ≤1) è anch’esso un paniere di consumo possibile. Ed il paniere otterremo con questa formula andrà a posizionarsi sul segmento che unisce il paniere x e y.
Possiamo arrivare alla conclusione con le ipotesi da noi date che qualsiasi paniere (nel caso di due beni) nel quadrante non-negativo del piano cartesiano (R²+) individuerà un paniere di consumo possibile. Nel caso di n beni l’insieme coinciderà con l’insieme Rⁿ positivo di vettori non-negativi.
“Questa analisi è da noi fatta per risolvere un problema! Cosa intendiamo noi per insieme delle alternative di consumo” questo quesito è stato discusso nelle pagine precedenti dato dal punto 1, Insieme delle alternative di consumo.
Il punto 2 è dato dai “Vincoli alle scelte individuali”
L’insieme di scelta del consumatore è meno ampio dell’insieme delle possibilità di consumo, in quanto deve rispettare dei vincoli che derivano o dalla disponibilità di un reddito monetario limitato o da condizioni restrittive di carattere sociale o naturale che impongono limitazioni alle possibilità di scelta.
IL VINCOLO DI BILANCIO
I prezzi sono strettamente positivi, sono un dato esogeno e non modificabile dalle azioni dell’individuo. L’individuo potrà acquistare bene 1 e 2 fino a quando la somma versata per il loro acquisto non superi il reddito che ha a disposizione, ossia potrà acquistare solo quei panieri di consumo che soddisfano la seguente relazione: p1x1 + p2x2 (valore dei beni acquistati)≤ M (reddito a disposizione dell’individuo). Il vincolo di bilancio è dato da tutti quei panieri di beni che il consumatore acquistandoli non superi la sua disponibilità di reddito. Il limite superiore del vincolo di bilancio è dato dalla retta di bilancio, che è composta da tutti quei panieri il cui costo è esattamente uguale al reddito M. L’equazione della retta di bilancio espressa per il bene 2 è la seguente: x2 = M/p2 – (p1/p2)*x1, retta di bilancio con incertezza verticale uguale a M/p2 (sarebbe la quota cioè dove la retta taglia l’asse delle ordinate), ed inclinazione o coefficiente angolare uguale a –p1/p2. Il vincolo di bilancio è determinato dai due semiassi positivi e dalla retta di bilancio, cioè i panieri che stano nell’area delimitata da questi parametri fanno parte dell’insieme delle alternative di consumo dell’individuo. La massima quantità di bene 2 acquistabile è data dal punto M/p2 (intersezione con l’asse delle ordinate), mentre la massima quantità di bene 1 acquistabile è data da M/p1 (intersezione della retta di bilancio con l’asse delle ascisse). Tutti gli altri panieri che si trovano sulla retta di bilancio, cioè il segmento che unisce i punti M/p2 a M/p1 comportano la spesa totale del reddito questo è dimostrabile con la proprietà di convessità:
x = λ*(M/p1,0) + (1- λ)*(0,M/p2), semplificando l’equazione impostata otteniamo la seguente cosa: dividiamo per i prezzi e l’equazione risultante sarà la seguente x = λM + (1- λ)M, cioè x = M, in quanto risolvendola con qualsiasi valore di λ il risultato è sempre M. Il significato economico dell’inclinazione –p1/p2: il consumatore consuma x'1, la quantità del bene 1 al prezzo 1, la spesa necessaria per l’acquisto di x'1 quantità del bene 1 è p1*x'1, il consumatore dopo l’acquisto della detta quantità del bene 1 avrà ancora a disposizione M-p1*x'1 da spendere nell’acquisto del bene 2; dal momento che ogni unità del bene 2 a prezzo uguale a p2 egli potrà acquistare massimo quantità del bene due pari a x'2 = (M-p1*x'1)/p2 unità. Il che da ragione alla presenza del paniere (x'1, x'2) sulla retta di bilancio. Supponiamo che il consumatore voglia consumare una unità in meno del bene 1 egli avrà a disposizione p1 lire in più per l’acquisto del bene 2, dal momento che il prezzo del bene 2 è p2 potrà acquistare p1/p2 unità in più del bene 2 come espresso esattamente dall’inclinazione della retta di bilancio, l’inclinazione ci dice il tasso il tasso con cui siamo disposti a cambiare un bene con l’altro.
DEFINIZIONE DEL VINCOLO DI BILANCIO CON UN NUMERO ARBITRARIO DI BENI
∑j=1 pj*xj ≤ M cioè p1*x1+p2*x2+…+pn*xn ≤ M

LA RETTA DI BILANCIO CON UN UN NUMERO ARBITRARIO DI BENI HA LA SEGUENTE EQUAZIONE
∑j=1 pj*xj = M cioè p1*x1+p2*x2+…+pn*xn = M
VINCOLO DI BILANCIO AL VARIAZIONI DEL REDDITO
Come si modifica il vincolo di bilancio al variare del reddito a disposizione del consumatore mentre i prezzi dei beni rimangono inalterati. Supponiamo che il reddito del consumatore aumenti passando da M a M', l’incertezza sull’asse delle ordinate (x1=0) aumenta passando da M/p2 a M'/p2, mentre l’inclinazione della retta rimane inalterata dal momento che i prezzi non variano. Pertanto avremo una retta di bilancio parallela alla precedente traslata verso l’esterno (o l’alto se preferite). Un aumento di reddito a prezzi costanti risulta in un ampliamento delle possibilità di scelta del consumatore. Una riduzione di reddito avrebbe avuto l’effetto contrario, diminuendo le possibilità di scelta del consumatore in quanto M avrebbe avuta una traslazione all’interno (o verso il basso) restando parallela.

VINCOLO DI BILANCIO AL VARIARE DEI PREZZI
Il reddito rimane costante, e vediamo cosa succede al vincolo di bilancio quando il prezzo di un bene varia. Supponiamo che il prezzo del bene 1 aumenti passando da p1 a p'1, mentre p2 rimane inalterato. Data questa variazione l’incertezza verticale M/p2 non subisce alcuna variazione, mentre l’inclinazione aumenta in valore assoluto passando da p1/p2 a p'1/p2. L’aumento del prezzo del bene 1 comporta una rotazione della retta di bilancio verso sinistra (o verso l’interno), facendo così ridurre il vincolo di bilancio e con lui le possibilità di scelta del consumatore.
Possiamo vedere che se prima il consumatore acquistava quantità di bene 1 x1 a prezzo p1 e quantità di bene 2 x2 a prezzo p2. x2 = (M-p1*x1)/p2 ora continuando ad acquistare quantità x1 del bene 1 a prezzo p'1 maggiore del precedente si avrà che la quantità di bene 2 diminuisce a x'2 = (M-p'1*x1)/p2 perché diminuisce la moneta a disposizione per il suo acquisto da M-p1*x1 a M-p1*x1.
Ragionamento analogo per una diminuzione del prezzo del bene, ma la rotazione sull’asse verticale sarebbe stata verso l’esterno (o destra). La nuova retta di bilancio assumerebbe una inclinazione inferiore facendo aumentare il vincolo di bilancio e con lui le possibilità di consumo dell’individuo.
Se il reddito rimane costante ed entrambi i prezzi variano basterebbe trovare i punti d’incontro della nuova retta con gli stessi ed unirli, cioè M/p2 e M/p1 così troveremo la nuova retta di bilancio ed il nuovo vincolo di bilancio. Un caso interessante si a quando i due prezzi aumentano o diminuiscono nella stessa proporzione passando da p = (p1, p2) a p' = (λp1, λp2) dove λ ≠ 1.
La nuova retta di bilancio è data da tutti quei panieri che soddisfano l’uguaglianza λp1*x1+λp2*x2=M cioè λ (p1*x1 + p2*x2) = M cioè p1*x1 + p2*x2 = M/λ.
Da qui notiamo che se i prezzi aumentano o diminuiscono proporzionalmente (cioè moltiplicati per una stessa quantità) il vincolo risultante è uguale a quello che si avrebbe ai prezzi originari se il reddito aumentasse o diminuisse.
Esempio: se dimezziamo i prezzi avremo lo stesso effetto che avremmo ottenuto raddoppiando il reddito. Se raddoppiamo i prezzi avremo lo stesso effetto che dimezzare il reddito.
Se il reddito è perfettamente indicizzato alla variazione dei prezzi allora il vincolo di bilancio del consumatore non subisce alcuna variazione, ossia le sue possibilità di scelta rimangono inalterate.
λ(p1*x1+p2*x2) = M/λ
VINCOLO DI BILANCIO E PREZZI NON UNIFORMI
La tassa inizia a colpire una volta superata la quantità limite senza incidere sulle unità precedenti (caso 1). La tassa incide su tutte le unità se la quantità acquistata è superiore al limite (caso 2).
Esempio: io acquisto 10 unità dl bene 1 limite tassa è 5 unità.
1° caso: io sulle prime cinque unità non pago la tassa sulle altre si
2° caso: pago la tassa su tutte e dieci le unità.
Nel primo caso la retta di bilancio è data dalla seguente espressione, dove p'1 = p1+t.
p1*x1 + p2*x2 = M x1≤x'1
p'1*x1-t + p2*x2 = M x1>x'1
Questa equazione ci dice che il bene 1 può essere acquistato al prezzo p1 per quantità inferiori o uguali a x'1, quando invece acquistiamo quantità superiori ad x'1 il prezzo varia da p1 a p'1 questo è spiegato nella seconda disequazione che dice anche che il nuovo prezzo noi lo pagheremo solo sulle unità che eccedono il limite, mentre sulle altre unità continueremo a pagare il prezzo p1 cioè senza tassa.

GRAFICAMENTE LA SITUAZIONE SI PRESENTA COSì.
x2

M/p2

x'2

-p'1/p2 p1/p2
x1
x'1 M/p'1 M/p1
La prima disequazione ci dice (è una normale retta di bilancio) che possiamo acquistare il bene 1 a prezzo p1 per quantità ≤ x'1 (come vediamo nel grafico). La seconda disequazione va interpretata come segue: a partire dalla x'1–esima unità, il bene 1 può essere acquistato ad un prezzo p'1 maggiore di p1 pagato in precedenza, tuttavia il prezzo maggiore non va pagato su tutte le unità acquistate (come sarebbe implicito nel termine p'1*x1), ma solo su quelle che eccedono la soglia x'1, per cui l’ammontare di t (l’entità della tassa) deve essere dedotto su ciascuna unità precedente la x'1–esima (questo spiega la presenza del termine t*x'1). Questa viene definita retta di bilancio spezzata.
Nel secondo caso la situazione è diversa, perché la tassa una volta superato il limite non va a colpire solo le unità eccedenti, ma anche le precedenti, quindi una volta superata la soglia limite tutte le unità saranno colpite dalla tassa.
p1*x1 + p2*x2 = M x≤x'1
p'1*x1 + p2*x2 = M x>x'1
La retta presenta una discontinuità in corrispondenza del valore x'1. si avrà una retta di bilancio in alto con inclinazione –p1/p2 fino a quando la quantità è ≤ x'1 poi avremo un’altra retta con inclinazione -p'1/p2 per quantità > di x'1.
GRAFICAMENTE LA SITUAZIONE SI PRESENTA COSì:
x2
M/p2
a
x'2

b

-p1/p2
x'1 -p'1/p2
La distanza tra i punti a e b è data da (M-p1*x'1)/p2 – (M-p'1*x'1)p2 = (p'1-p1)*x'1/p2 = t*x'1/p2
t*x'1 = non è altro che la somma (totale) delle tasse che il consumatore deve pagare sulle prime x'1 unità, se decide di consumare una quantità del bene 1 maggiore di x'1.