Analisi degli investimenti in condizioni di incertezza

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Categoria:Economia

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Testo

CAPITOLO QUARTO
Analisi degli investimenti in condizioni di incertezza
4.1. Definizione delle Grandezze Caratteristiche
Fino ad ora abbiamo assunto che l’investitore possa ragionare in condizioni di certezza, cioи che conosca giа in anticipo e con sicurezza i valori delle variabili in gioco. Nella realtа, ragionando in ottica previsionale, и piщ corretto associare al valore legato ad un particolare evento la probabilitа che tale evento accada. Per esempio la distribuzione probabilistica che descrive i possibili flussi di cassa di un progetto, viene utilizzata per calcolare il valore medio atteso dei F.C. secondo l’espressione :
Valore Medio Atteso R*=
dove R*= valore atteso
FCi = flusso di cassa associato al i-esimo evento
P i = probabilitа di accadimento del i-esimo evento
N = numero di possibili eventi
La dispersione dei dati della distribuzione probabilistica intorno al valor medio и un indice del rischio associato al progetto. La statistica fornisce svariati strumenti per la valutazione della dispersione, tra cui noi useremo :
Varianza 2 =
Deviazione Standard =
Coefficiente di variazione == / R*
Esempio
Si vogliono confrontare due alternative di investimento e, in relazione all’andamento dell’economia atteso nell’anno 1995, si abbia un prospetto del tipo :
Flussi di Cassa attesi
Andamento Economico Probabilitа Evento Invest. A Invest.B
1-Crescita 0,3 1800 1600
2-Moderata Crescita 0,5 1500 1200
3-Recessione 0,2 800 1000
Per entrambe gli investimenti bisogna valutare :
Valore Medio Atteso R*=
quindi per l’investimento A : R*A = 0,3*1800+0,5*1500+0,2*800 = 1450 Ј
investimento B : R*B = 0,3*1600+0,5*1200+0,2*1000 = 1280 Ј
Quindi i valori attesi dei due investimenti sono determinati pesando i flussi di cassa con la rispettiva probabilitа che si verifichi un determinato stato dell’economia.
Una misura del rischio associato ai due investimenti и data dalla valutazione di :
Varianza e Deviazione Standard
investimento A : 2 = 122 500 ==> = = 350 Ј
investimento B : 2 = 49 600 ==> == 223 Ј
La deviazione standard (e la varianza che ne и il quadrato) sono un indice di quanto il valore atteso sia rappresentativo della distribuzione: quanto piщ и elevata la deviazione standard, tanto meno rappresentativo и il valor medio, in quanto la distribuzione и molto dispersa intorno a tale valore.
Nella pratica la deviazione standard и l’indice piщ usato poichй presenta la stessa unitа di misura [$] del valore atteso: queste due grandezze definiscono in maniera esaustiva una distribuzione probabilistica.
Coefficiente di variazione
investimento A : = 350 Ј / 1450 Ј = 0,2414
investimento B : = 223 Ј / 1280 Ј = 0,1742
Il coefficiente di variazione mostra quindi la rischiositа (misurata attraverso la deviazione standard) per ogni dollaro atteso di ritorno :
basso b bassa rischiositа dell’investimento ( FC quasi certi)
elevato e alta rischiositа dell’investimento ( FC molto incerti)
4.2. L’albero decisionale
Una tecnica raccomandata per risolvere problemi articolati e complessi и quella dell’albero decisionale. Si tratta di una rappresentazione grafica che permette di evidenziare le diverse alternative che si articolano da un punto comune, ognuna delle quali и caratterizzata da una certa probabilitа di accadimento. Il seguente esempio esporrа in modo chiaro quanto appena affermato.
Esempio
Una societа sta considerando sta considerando due alternative di investimento per l’anno 1990 (single-period investiments), i ritorni dei quali dipendono dallo stato dell’economia atteso nell’anno stesso.
Lo stato dell’economia и noto solo attraverso una distribuzione probabilistica :
STATO DELL’ ECONOMIA
PROBABILITA’
Modesto
0.25
Buono
0.40
Molto Buono
0.30
Ottimo
0.05
I ritorni di ogni alternativa in ogni possibile stato economico sono:
ALTERNATIVA
Stato Modesto
Stato Buono
Stato Molto Buono
Stato Ottimo
A
10 Ј
40Ј
70Ј
90Ј
B
-20
50
100
140
Usando l’albero decisionale individuare l’alternativa che consente di massimizzare i ritorni.
SOLUZIONE
Alternative
Stato Economia
Probabilitа
Ritorno Associato
Ritorno Pesato
modesto
0.25
10
2.5
Progetto
buono
0.40
40
16.0
A
molto buono
0.30
70
21.0
ottimo
0.05
90
4.5
Valore Atteso =
44 Ј
modesto
0.25
-20
-5.0
Progetto
buono
0.40
50
20.0
B
molto buono
0.30
100
30.0
ottimo
0.05
140
Valore Atteso =
7.0
52 Ј
La soluzione al problema и tutta contenuta nell’albero decisionale rappresentato. Sull’estrema destra i ritorni di ogni stato dell’economia sono stati pesati con la corrispondente probabilitа di accadimento. La somma di tutti questi valori calcolati fornisce il ritorno atteso dello specifico progetto. Poichй l’obiettivo era quello di massimizzare i ritorni il progetto B risulta essere il migliore con 52Ј, contro i 44Ј del progetto A.
Il diagramma ad albero puт essere anche utilizzato per effettuare delle valutazioni su un singolo progetto che si articola su piщ periodi temporali: naturalmente ora, oltre a considerare la probabilitа di accadimento degli eventi, sarа necessario attualizzare i flussi di cassa.
Per definizione, il valore atteso dei flussi di cassa attualizzati и :
A* =
La deviazione standard dei flussi di cassa scontati и
A =
dove A S и flusso di cassa scontato con probabilitа di accadimento PS .
Applichiamo queste due formule ad un esempio: si consideri un progetto P con vita utile di 3 anni. I possibili flussi di cassa in entrata per ogni periodo (che sono giа stati scontati per riportarli al presente) e le loro probabilitа di accadimento associate sono le seguenti:
PERIODO 1
PERIODO 2
PERIODO 3
AS1 P[AS1]
AS2 P[AS2 /AS1]
AS3 P[AS3 /AS2]
40 (0.8)
50 (0.6)
Ј 40 (0.3)
70 (0.4)
==>70 (0.2)
==>90 (0.7)
==>100 (0.3)
70 (0.1)
100 (0.5)
Ј 100 (0.7)
115 (0.5)
==>120 (0.9)
==>110 (0.2)
==>140 (0.8)
dove P[AS2 /AS1] и la probabilitа composta che avvenga l’evento AS2 soggetta all’avverarsi dell’evento AS1.
Utilizzando i dati sopra riportati, determinare il valore atteso di flusso di cassa e la deviazione standard.
SOLUZIONE
1) Valore Atteso
Ci serviamo di una tabella del tipo :
Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3
Serie
AS1
P[AS1]
AS2
P[AS2 /AS1]
AS3
P[AS3 /AS2]
AS =
= ASt
PS =
= Pt
AS PS
1
40
0.3
40
0.8
50
0.6
130
0.144
18.72
2
40
0.3
40
0.8
70
0.4
150
0.096
14.40
3
40
0.3
70
0.2
90
0.7
200
0.042
8.40
4
40
0.3
70
0.2
100
0.3
210
0.018
3.78
etc.
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
Somma
Totale
1
287.745
Quindi :
A* = = 287.745 $
2) Deviazione Standard
Ci serviamo di una tabella del tipo :
Serie
AS
(AS-A*)2
PS
(AS-A*)2 PS
1
130
24883.45
0.144
3583.2168
2
150
18973.66
0.096
1821.4714
3
200
7699.18
0.042
323.3656
4
210
6044.26
0.018
108.7967
etc.
.....
.....
.....
.....
Somma Totale
1
8704.3853
da cui d = 8704.3853 = 93.3 $
Equivalente Certo (CE)
Con il metodo dell’equivalente certo, i valori stimati dei flussi di cassa ad ogni anno (che rappresenta il valore atteso di una distribuzione probabilistica di cash flow), vengono moltiplicati per un Coefficiente di Certezza Equivalente (CEC), che ingloba il grado di rischio associato alla distribuzione di FC stimata. Il CEC varia da 0 a 1: il suo valore и tanto piщ elevato quanto и minore l’incertezza legata alla distribuzione dei FC.
Con il metodo dell’Equivalente Certo, la bontа di un progetto si valuta in maniera del tutto analoga a quanto visto con NPV : non vengono cioи accettati gli investimenti che presentano CE minore di zero. In questo caso l’espressione di attualizzazione dei flussi di cassa assume la forma :
Equivalente Certo Atteso = CE =
dove Rt* = flusso di cassa atteso al periodo t
t = valore del CEC al periodo t, ottenuto, attraverso opportune tabelle, in funzione del rischio associato alla distribuzione dei FC (valutato con il coefficiente di variazione ): 0 0 t 1 con = (t, , tipologia di investimento) su Tabelle
Tipo Investimento
Coeff. di Variazione
CEC
anno 1
CEC
anno 2
CEC
anno 3
CEC
anno 4
di Sostituzione
(0 ; 0.10]
0.95
0.92
0.89
0.85
(0.10 ; 0.25]
0.90
0.86
0.82
0.77
(0.25 ; 1]
0.84
0.79
0.74
0.68
Nuovo Invest.
(0 ; 0.10]
0.92
0.88
0.85
0.80
(0.10 ; 0.25]
0.86
0.82
0.78
0.73
(0.25 ; 1]
0.80
0.75
0.70
0.64
Ricerca e Sviluppo
[0 ; 0,20]
(0,20 ; 1]
0.82
0.70
0.76
0.60
0.70
0.50
0.60

i RF = tasso di sconto risk-free, che si assume costante lungo la vita utile del progetto
N = vita utile del progetto
Esempio
La Societа ABC vuole valutare la bontа di un nuovo investimento, di cui sono stati precedentemente stimati i valori attesi e le deviazioni standard nei vari anni di vita utile :
Anno
Ritorno Atteso
Deviazione Standard
Coef. di Variazione
1
1000
200
0.20
2
1200
216
0.18
3
1200
168
0.14
4
1800
144
0.08
L’esborso iniziale и di 3000Ј e il tasso di sconto risk-free и pari al 6%. Stabilire l’accettabilitа del progetto utilizzando il metodo dell’equivalente certo.

SOLUZIONE
Ci serviamo della seguente tabella per valutare CE:
Tempo
R*
R*
Fattore di Sconto
al 6%
Flusso di Cassa
Scontato
Presente
-3000
1.00
-3000
1.000
-3000
1
1000
0.86
860
0.943
811
2
1200
0.82
984
0.890
876
3
1200
0.78
936
0.840
786
4
1800
0.80
1440
0.792
1140
CE =
613 $
Essendo CE>0, allora il progetto viene accettato.
4.4. Risk-Adjusted Discount Rate (RAR)
Anche questo metodo si basa sulla proposizione che i progetti che presentano elevata variabilitа nella distribuzione probabilistica dei flussi di cassa, devono attualizzare i propri FC con un tasso di sconto superiore rispetto a investimenti con minor variabilitа o rischio.
Il tasso di sconto puт essere quindi essere espresso come:
r = iRF + u + a
dove r = risk-adjusted discount rate (tasso di sconto modificato per tener conto del rischio)
iRF = tasso di sconto risk-free
u = rischiositа standard dell’impresa
a = correzione legata alla rischiositа dello specifico investimento da apportare al valore di u. In particolare a puт essere positivo o negativo a seconda che il rischio del progetto in esame sia maggiore o minore del rischio medio u dei progetti dell’impresa
Il valore presente atteso valutato col metodo risk-adjusted discount rate и espresso come :
RAR =
La tabella sotto riporta un esempio di valutazione del premio di rischio iR=u+a per la Societа ABC. L’ammontare della correzione per rischio scelta dall’impresa riflette la maggior o minor avversione al rischio che guidano le decisioni strategiche dell’azienda: si noti che rispetto alla valutazione di CEC, in questo caso si valutano generalmente i tassi di sconto indipendentemente dal periodo temporale di vita utile del progetto.

Tipo Investimento
Coeff. di Variazione
Premio richiesto
di Sostituzione
(0 ; 0.10]
Tasso Risk-Free piщ il 2%
(0.10 ; 0.25]
Tasso Risk-Free piщ il 4%
(0.25 ; 1]
Tasso Risk-Free piщ il 6%
Nuovo Invest.
(0 ; 0.10]
Tasso Risk-Free piщ il 8%
(0.10 ; 0.25]
Tasso Risk-Free piщ il 10%
(0.25 ; 1]
Tasso Risk-Free piщ il 15%
Ricerca e Sviluppo
[0 ; 0,20]
Tasso Risk-Free piщ il 10%
(0,20 ; 1]
Tasso Risk-Free piщ il 20%
Esempio
La Societа XMT sta analizzando un progetto in ricerca e sviluppo, che prevede un esborso iniziale di 5000 Ј. Sono stati stimati i valori attesi e le deviazioni standard dei ritorni negli anni di vita utile :
Anno
Ritorno Atteso
Deviazione Standard
Coef. di Variazione
1
1500
150
0.10
2
1000
130
0.13
3
2500
250
0.10
4
2000
250
0.125
Il tasso di sconto risk-free и pari al 10%. Stabilire l’accettabilitа del progetto utilizzando il metodo RAR.
SOLUZIONE
Nel caso di investimenti di “Ricerca e Sviluppo” con N

Esempio



  



Come usare