la regressione multipla

Materie:Appunti
Categoria:Matematica

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Testo

LA REGRESSIONE MULTIPLA
La regressione multipla consente di analizzare il contributo di più variabili (predittori) su una variabile dipendente (criterio).
x → y Regressione lineare: correlazione r
x1 →
x2 → y Regressione multipla: correlazione multipla
x3 →
x1
→ y1
x2 Regressione multivariata: correlazione canonica
→ y2
x3
La regressione multipla è usata per due scopi:
1) predittivo: sulla base delle correlazioni tra le variabili si cerca di prevedere la risposta dei
soggetti; si limita a descrivere il comportamento dei soggetti
2) causale: si propone di individuare modelli causali, cioè insiemi di variabili che spieghino la
risposta dei soggetti; cerca di spiegare il comportamento.
La regressione multipla è la combinazione lineare delle variabili predittrici atta a massimizzare la correlazione con la variabile dipendente o criterio. Questo si ottiene mediante il noto principio dei “minimi quadrati”: minimizzare la somma dei quadrati delle differenze tra valore osservato Y e valore predetto Y1, cioè massimizzare la correlazione tra Y e Y1. La correlazione che si ottiene è detta correlazione multipla e coinvolge almeno tre variabili (due predittori e un criterio).
Se pensiamo all’analisi della regressione in termini di analisi della varianza possiamo dire che la variabilità totale può essere ripartita in variabilità dovuta alla regressione e variabilità residua:
Devianza totale = devianza dovuta alla regressione + devianza residua
Ciò significa poter controllare probabilisticamente, mediante il test F tra varianza dovuta alla regressione e varianza residua, la significatività della relazione; l’indicatore che si utilizza per misurare la relazione è il coefficiente di correlazione multipla al quadrato (R²), detto anche coefficiente di determinazione. R² misura la proporzione di variabilità totale che viene spiegata dall’insieme di predittori.
Coefficiente di correlazione multipla: misura della relazione lineare che intercorre tra più di due
variabili;
Coefficiente di correlazione multipla al quadrato (R²): rapporto tra devianza dovuta alla regressione
e devianza totale;
Coefficiente di correlazione parziale: misura la relazione lineare tra due variabili, avendo eliminato
l’effetto delle altre

Procedure di selezione dei predittori:
- selezione progressiva (forward selection):consiste nell’inserire nell’equazione di regressione una variabile alla volta, partendo da un predittore, poi inserendo un secondo e così di seguito; la selezione si basa sull’incremento di contributo esplicativo della y dato dal predittore inserito.
- eliminazione a ritroso (backward elimination): consiste nel rimuovere una variabile alla volta dall’equazione di regressione di p variabili, in ragione della perdita di capacità esplicativa della variabilità di y conseguente all’eliminazione della variabile;
- regressione stepwise (stepwise regression analysis): una variabile “candidata” è inclusa nell’equazione di regressione se in una fase del processo, dà il contributo più significativo all’interpretazione della variabilità di y, ma può essere rimossa nelle fai successive se la sua capacità esplicativa è surrogata da variabili entrate nel frattempo.
La capacità esplicativa di un predittore è dunque valutata a) sulla base della riduzione di varianza residua della y che segue l’inserimento dello stesso nell’equazione di regressione
b) sulla base dell’aumento di varianza che comporta l’eliminazione del predittore dall’equazione di regressione.

Esempio



  


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