Equazione ellisse

Materie:	Altro
Categoria:	Matematica
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Data:	14.03.2006
Numero di pagine:	2
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

EQUAZIONE ELLISSE
Per trovare l'equazione dell'ellisse consideriamone la definizione: prendiamo un punto generico P(x,y) ed imponiamo che la somma delle distanze di P dai due punti fissi F1(c,0) ed F2(-c,0) sia uguale a 2a

Chiamiamo le coordinate orizzontali di F con +c e -c, questo perche' sviluppando l'equazione avremo bisogno di un'altra lettera (che chiameremo b) e questa comparira' nell'equazione finale; in questo modo nell'equazione finale avremo le prime due lettere dell'alfabeto: a, b

PF1 + PF2 = 2a __ __
Applico la formula della distanza fra due punti nel piano ed ottengo
[(x-c)2 + y2] + [(x+c)2 + y2] = 2a
E' un' equazione irrazionale quindi isolo una radice
se lasci prima dell'uguale il radicale con il termine x+c alla fine non dovrai cambiare di segno, altrimenti dovrai cambiare di segno
[(x+c)2 + y2] = 2a - [(x-c)2 + y2]
elevo al quadrato da entrambe le parti dell'uguale
x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 - 4a[(x-c)2 + y2] + x2 - 2cx + c2 + y2
Sommo i termini simili e isolo la radice prima dell'uguale
4a[(x-c)2 + y2] = 4a2 - 4cx
Divido tutti i termini per 4
a[(x-c)2 + y2] = a2 - cx
Elevo a quadrato da entrambe le parti
a2[x2 - 2cx + c2 + y2] = a4 - 2a2cx +c2x2
a2x2 - 2a2cx + a2c2 + a2y2= a4 - 2a2cx +c2x2
Termini con la x e la y prima dell'uguale, gli altri dopo l'uguale
a2x2 - 2a2cx + a2y2 + 2a2cx - c2x2= a4 - a2c2
tolgo i due termini uguali e di segno opposto
a2x2 + a2y2 - c2x2= a4 - a2c2
metto in evidenza la x2 prima dell'uguale ed a2 dopo l'uguale
x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2)
ora pongo a2 - c2 = b2 posso farlo perche' a > c
b2x2 + a2y2 = a2b2
divido tutti i termini per a2b2
b2x2
a2y2
a2b2
--------
+
--------
=
--------
a2b2
a2b2
a2b2
Semplifico ed ottengo l'equazione canonica dell'ellisse
x2
y2
-----
+
-----
=
1
a2
b2